《概率论与数理统计》课程教学资源（复习课PPT）第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理

第三章多维随机变量及其分布4 关键词：二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数边缘分布律 边缘概率密 度条件分布函数条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(仪，Y)的概率密度

第三章 多维随机变量及其分布 关键词：二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密 度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度

概華论与款醒硫外「 1.二维随机变量及联合分布函数 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量 ,由它们构成的向量（仪，Y)叫做二维随机向量或二维 随机变量。 二维随机变量(X,Y)的分布函数：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) (I)F(x,y)关于每个变量x,y单调不减，且右连续： (2)0≤F(x,y)≤1，F(+o0,+o)=1,F(-o0,y)=F(x,-0)=F(-o0,-o0)=0 (3)边缘分布：F(x,+oo)=Fx(x),F(+∞，y)=F,(y) (4)X,Y独立时，F(x,y)=Fx(x)F(y)

1.二维随机变量及联合分布函数 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量 ，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维 随机变量。 二维随机变量(X,Y)的分布函数： F x y P X x Y y ( , ) ( , ) =   (1) , , F x y x y ( )关于每个变量 单调不减,且右连续; (2) 0 ( , ) 1 ( , ) 1, ( , ) ( , ) ( , ) 0   + + = − = − = − − = F x y F F y F x F ， (3) : F(x, ) F (x),F( , y) F (y) 边缘分布 + = X + = Y (4)X,Y F(x, y) F (x)F (y). 独立时， = X Y

概车纶与款理统外 2.二维离散型随机变量 X y P11 P21 p. y2 P12 P22 .卫2 条件分布： P.2 P(X=xY=Y)= Py P(Y=YX=x)= P Pi P1.P2. P。 联合分布律，边缘分布律，独立性表示P,=P.p(任意i,)

2.二维离散型随机变量   j p p p • • • 2 1                 j j ij i i p p p p p p p p p 1 2 12 22 2 11 21 1 x1 x2  xi    j y y y 2 1 p1• p2•  pi•  X Y 联合分布律，边缘分布律，独立性表示 • • = = = = = = i ij j i j ij i j p p P Y y X x p p P X x Y y { } { } 条件分布： p p p ( i, j) ij = i• • j 任意

概華论与款醒硫外 3.二维连续型随机变量 设(X,Y)的分布函数F(x,y)=∫∫f(u,)dudw,则(X,Y)连续 性质：(0f(x,y)≥0，(2)∫∫fx,)dk=1 (③)Fx,)是二元连续函数月在可导点有0F》-=x,) Oxoy (4)G为平面区域则P(XY)eG)=∬fx,y)dy, (5)边缘分布：fx(x)=∫f(x,y)d(把f(x,)非零区域看做X型区域) (o)=∫fx,y)d(把f(x,y)非零区域看做Y型区域)

3.二维连续型随机变量 设(X,Y)的分布函数F(x, y) f (u,v)dudv,则(X,Y)连续. x y   −− =   + − + − 性质:(1) f (x, y)  0;(2) f (x, y)dxdy =1;   = G (4)G为平面区域,则P{(X,Y) G} f (x, y)dxdy; ( , ); ( , ) (3) ( , ) 2 f x y x y F x y F x y =    是二元连续函数且在可导点有 ( ) ( , ) ( ( , ) ) (5) : ( ) ( , ) ( ( , ) ) 把 非零区域看做 型区域 边缘分布 把 非零区域看做 型区域 f y f x y dy f x y Y f x f x y dy f x y X Y X   + − + − = =

(6)条件分布：xO9)=fx,四 概车纶与款理统外 fx(x) (T独立性：f(x,y)=fx(x)f(y)几乎处处成立 例5X连骏概率密度为fc川白人>0广0 ,试求： 0 其他 (①)K的值：(2)求关于X和关于Y的边缘概率密度fx(x)与f(y) (3)判断X与Y是否独立，是否不相关？(4)求概率PX+Y<1

( ) ( , ) (6) ( ) f x f x y f y x X Y X 条件分布： = (7)独立性：f (x, y) f (x) f (y)几乎处处成立. = X Y (3) (4) { 1} . (1) (2) ( ) ( ); , 0 0, 0 5 ( , ) , ( , ) 3 2 +       = − − X Y P X Y K X Y f x f y K e x y X Y f x y X Y x y 判断 与 是否独立，是否不相关？ 求概率 的值； 求关于 和关于 的边缘概率密度 与 试求： 其他 例 ： 连续 概率密度为