(2)若limf(x) =0,则称当x→时, x→g(x) f(x)与g(x)相比是高阶无穷小 记作f(x)=(g(x)(x→). x86=A≠0,则称当→>时 (3)若im f(x) f(x)与g(x)相比是阶无穷小 2021/2/20
2021/2/20 6 ( ) ( ( )) ( ). ( ) ( ) . 0, , ( ) ( ) (2) lim = → = → → f x g x x f x g x x g x f x x 记 作 与 相比是高阶无穷小 若 则称当 时 ( ) ( ) . 0, , [ ( )] ( ) (3) lim 与 相比是 阶无穷小 若 则称当 时 f x g x k A x g x f x k x a = → →
符号“。”与“O” (1)若minf(x)=0,则记f(x)=(g(x) x→>x0 (2)若彐M>0,使当x∈N(x0)时,有 f() g(x) ≤M则记成f(x)=O(g(x) X→X 0 若 A,则有f(x)=O(g(x) 2021/2/20 x→x0g(x)
2021/2/20 7 ( ). ( ) ( ( )) ( ) ( ) (2) 0, ( ) , 0 0 * x x M f x O g x g x f x M x N x → = 则记成 若 使 当 时 有 , ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 A f x O g x g x f x x x = = → 若 则 有 0, ( ) ( ( )) ( ) ( ) (1) lim 0 f x g x g x f x x x = = → 若 则 记 符号“ ”与“O
几个常用的等价无穷小量 x→>0) SInr tanx x arcsinx nx arctan x x xiN a n(1+x)~x 1+x-1~-x 2 2021/2/20
2021/2/20 8 几个常用的等价无穷小量 (x → 0) x x x x e x a x a x x x x x x x x x x 2 1 ln(1 ) ~ 1 1 ~ 1 ~ 1 ~ ln arcsin ~ arctan ~ sin ~ tan ~ + + − − −
等价元穷小量的性质 性质1:设当x→><>时,f(x),g(x)均为 无穷小则∫(x)~g(x)分兮 ∫(x)-g(x)=o(∫(x)) 或f(x)-g(x)=(g(x) 例]当x→0时,sinx~x →sinx=x+o(x) 当x<<时,inx≈x,误差是o(x) 2021/2/20
2021/2/20 9 等价无穷小量的性质 1 ,sin , ( ) sin ( ) [ ] 0 , sin ~ x x x x x x x x x x 当 时 误差是 例 当 时 = + → ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) , ( ) ~ ( ) , ( ), ( ) f x g x g x f x g x f x f x g x x f x g x − = − = → 或 无穷小则 性质1： 设 当 时 均 为
性质2:若当x→时,f(x),g(x),f(x), g;(x)均为无穷小且有f(x)~f(x g(x)g(x), lim Ji(x) 存在 则有lmf(x)=mimf(x x→g(x)x→g1(x) lim f(x). lim fi(x) lim &1(r) x→4D g(x) x-a f(x)xad g,(r)xap g(x) →inf(x) f1(x) 108(x)x1(x)价代换 -lim 2021/2/20
2021/2/20 10 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 1 1 g x g x g x f x f x f x g x f x x→ x→ x→ x→ = 存在， 均为无穷小且 有 若 当 时 ( ) ( ) ( ) ~ ( ), lim ( ) , ( ) ~ ( ), , ( ), ( ), ( ), 1 1 1 1 1 1 g x f x g x g x g x f x f x x f x g x f x x → 性质2： → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 g x f x g x f x x→ x→ 则 有 = ( ) 等价代换 ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 0 0 g x f x g x f x x→ x→ =