《数学分析》课程教学资源（讲义）第十四章 曲线积分与曲面积分

914.3第一型曲面积分973.设P(a,3),Q(a,y)在曲线。上连续，证明P(,y)da + Q(t, y)dy|≤L(o)M,其中M=sup。VP2+Q2.4.设C为圆周a?+y?=R2，方向为逆时针.利用上一题估计积分ydr - rdyIR =Je(2+ ry+y2)2并证明，limIR=0.5.计算质量为m的质点在重力场的作用下沿曲线α从点A=o(α）到点B=α(β)所作的功W814.3第一型曲面积分我们从曲面的面积开始设m≤n，CRm为Rm中的开集Cl映射：Q→R"称为R"中的一个参数曲面.我们想要定义参数曲面的面积，先从线性映射开始设：Rm→R"为线性映射，ICRm为矩形.如果是退化的（秩小于m)则(Rm）包含在一个维数小于m的子向量空间中，我们自然定义(I)的m维体积为零；如果非退化，则(Rm）维数为m，(I）为m维欧氏空间中的可求体积集，我们来计算它的m维体积.以下为了区分不同维数的体积，我们将m维体积称为面积，并用记号。来表示它IRRm41O图14.7矩形在线性映射下的像不妨设I=[0,1]m.记u,=(e,)=aij,.…,anj),其中[ej]=为Rm的一组标准基.则o(I)=(aju;lo≤aj≤1, j=1,..,m).j=1我们要计算y(I）的面积.先看m=2的情形.此时，(I）是由U1,u2张成的平行四边形

§14.3 第一型曲面积分 97 3. 设 P(x, y), Q(x, y) 在曲线 σ 上连续, 证明    ∫ σ P(x, y)dx + Q(x, y)dy    ≤ L(σ)M, 其中 M = supσ √ P2 + Q2. 4. 设 C 为圆周 x 2 + y 2 = R2 , 方向为逆时针. 利用上一题估计积分 IR = I C ydx − xdy (x 2 + xy + y 2) 2 , 并证明 lim R→+∞ IR = 0. 5. 计算质量为 m 的质点在重力场的作用下沿曲线 σ 从点 A = σ(α) 到点 B = σ(β) 所作的功 W. §14.3 第一型曲面积分 我们从曲面的面积开始. 设 m ≤ n, Ω ⊂ R m 为 R m 中的开集. C 1 映射 ϕ : Ω → R n 称为 R n 中的一个参数曲面. 我们想要定义参数曲面的面积, 先从线性 映射开始. 设 ϕ : R m → R n 为线性映射, I ⊂ R m 为矩形. 如果 ϕ 是退化的 (秩小 于 m), 则 ϕ(R m) 包含在一个维数小于 m 的子向量空间中, 我们自然定义 ϕ(I) 的 m 维体积为零; 如果 ϕ 非退化, 则 ϕ(R m) 维数为 m, ϕ(I) 为 m 维欧氏空间中的 可求体积集, 我们来计算它的 m 维体积. 以下为了区分不同维数的体积, 我们将 m 维体积称为面积, 并用记号 σ 来表示它. 0 I ϕ ϕ(I) 0 R m R n 图 14.7 矩形在线性映射下的像 不妨设 I = [0, 1]m. 记 vj = ϕ(ej ) = (a1j , · · · , anj ), 其中 {ej} m j=1 为 R m 的一组 标准基. 则 ϕ(I) = {∑m j=1 xjvj   0 ≤ xj ≤ 1, j = 1, · · · , m} . 我们要计算 ϕ(I) 的面积. 先看 m = 2 的情形. 此时, ϕ(I) 是由 v1, v2 张成的平行 四边形

98第十四章曲线积分与曲面积分设u1,U2的夹角为,则(cp(I))=uill-u2ll sin0,而yti·22=lill·lv2l·cos9.因此[((I)2 = 112 [u212 - (u1 - 2) = det (ui - u)2x2C如果n=3,利用叉乘上式还可表示为a(s(I))=u×ullL一般地，我们断言o(sp(I))=det(ui·s)mxm：当m=）图14.8平行四边形n-1时，利用R"中叉乘运算的性质还可得到(P(I)) = lui × U2 × .. × Un-1ll事实上，记A=（ai）nxm如果当i>m时aij=0,即(Rm) CRm× [0) = [(r1,...,rm,0,.,0) eR"),则根据第十三章第四节的计算，特别是（13.4)式，(I）的面积可表示为(β(I) =|det (ai)mxmlo(I) = Vdet[ATA) a(I),一般的情形，我们总可以选择R"中的一个正交变换O,使得O((R"))CR"×[0)，因为正交变换保持面积和体积等不变，故有((I)) = α(O((I)) = /det[OA]T[OA (I)det[ATA]o(I)= det (ui·vs)mxm(I).一般地，如果α为Rm中可求面积（体积）集，则s(2)为R"中一个m维平面中的可求面积集，且o((2) = /det[ATA] α(2),(14.3)这是(13.4)式的推广。现在考虑一般的参数曲面：2→R"，假设是CI映射.取oE2,设Jp(ro）非退化（秩为m)，定义L：Rm→Rn为L(a) =(ro) + J(ro)(-ro), ERm.记元：Rn-→L(Rm）为正交投影，则映射0-L:→L(Rm),满足条件J(π0-L)(ro)=0.根据第十三章第四节的讨论可知，任给>0,存在5>0,当A为包含在o的8邻域内的可求面积集时，有[o(π((A)) - (L(A)I <E . α(A)

98 第十四章 曲线积分与曲面积分 v1 v2 0 z y x 图 14.8 平行四边形 设 v1, v2 的夹角为 θ, 则 σ(ϕ(I)) = kv1k · kv2k ·sin θ, 而 v1 · v2 = kv1k · kv2k · cos θ. 因此 |σ(ϕ(I))| 2 = kv1k 2 · kv2k 2 − (v1 · v2) 2 = det ( vi · vj ) 2×2 . 如果 n = 3, 利用叉乘上式还可表示为 σ(ϕ(I)) = kv1 × v2k. 一般地, 我们断言 σ(ϕ(I)) = det ( vi · vj ) m×m . 当 m = n − 1 时, 利用 R n 中叉乘运算的性质还可得到 σ(ϕ(I)) = kv1 × v2 × · · · × vn−1k. 事实上, 记 A = ( aij ) n×m . 如果当 i > m 时 aij ≡ 0, 即 ϕ(R m) ⊂ R m × {0} = {(x1, · · · , xm, 0, · · · , 0) ∈ R n }, 则根据第十三章第四节的计算, 特别是 (13.4) 式, ϕ(I) 的面积可表示为 σ(ϕ(I)) = | det ( aij ) m×m | σ(I) = √ det[A>A] σ(I). 一般的情形, 我们总可以选择 R n 中的一个正交变换 O, 使得 O(ϕ(R m)) ⊂ R m×{0}, 因为正交变换保持面积和体积等不变, 故有 σ(ϕ(I)) = σ(O(ϕ(I))) = √ det[OA]>[OA] σ(I) = √ det[A>A] σ(I) = √ det ( vi · vj ) m×m σ(I). 一般地, 如果 Ω 为 R m 中可求面积 (体积) 集, 则 ϕ(Ω) 为 R n 中一个 m 维平面中 的可求面积集, 且 σ(ϕ(Ω)) = √ det[A>A] σ(Ω), (14.3) 这是 (13.4) 式的推广. 现在考虑一般的参数曲面 ϕ : Ω → R n, 假设 ϕ 是 C 1 映射. 取 x0 ∈ Ω, 设 Jϕ(x0) 非退化 (秩为 m), 定义 L : R m → R n 为 L(x) = ϕ(x0) + Jϕ(x0)(x − x0), x ∈ R m. 记 π : R n → L(R m) 为正交投影, 则映射 π ◦ ϕ − L : Ω → L(R m), 满足条件 J(π ◦ ϕ − L)(x0) = 0. 根据第十三章第四节的讨论可知, 任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 A 为包含在 x0 的 δ 邻域内的可求面积集时, 有 |σ(π(ϕ(A))) − σ(L(A))| < ε · σ(A)

914.3第一型曲面积分99即（由(14.3)式）Jo((p(A) - Vdet[(J)T(ro)Jp(ro) o(A)|/ <e·o(A),(14.4)这是(13.5)式的推广。如果将(A)的“面积”近似地用它在ro处参数曲面的切空间L(Rm）上的投影(s(A)）的面积代替时，我们就得到了参数曲面面积的如下积分定义：定义14.3.1(面积公式).设:n→Rn为非退化的 C1映射,α为Rm中可求面积的集合，则(2)的面积定义为a((2) =Vdet[(Jo)T Jo)](14.5)L(Rm)L(Rm(A)T((A))0(S2图14.9参数曲面面积的定义注.(1)如果(Rm）CRm×[0),则公式(14.5)变成了引理13.4.5中的等式；如果m=1，则（14.5）就是连续可微曲线的弧长公式(2)与曲线一样，曲面可以选取不同的参数化。如果：2'→是CI的可逆映射，则βΦ：2°→Rm也是参数曲面，它们的面积用（14.5）式定义出来是一致的 (习题)例14.3.1.R3中参数曲面的面积公式，设r(u,)=(r(u,u),y(u,u),z(u,u))(u,u)ED)为参数曲面,则根据前面的讨论，其面积为Iru X rull dudu =VEG-F2dudu(14.6)其中E=ru'ru=aa+ya+za,G=ru·ru=a,+y+zF=ru·r=Luu+yuyu+Zuzu

§14.3 第一型曲面积分 99 即 (由 (14.3) 式)  σ(π(ϕ(A))) − √ det[(Jϕ)>(x0)Jϕ(x0)] σ(A)   < ε · σ(A), (14.4) 这是 (13.5) 式的推广. 如果将 ϕ(A) 的 “面积” 近似地用它在 x0 处参数曲面的切 空间 L(R m) 上的投影 π(ϕ(A)) 的面积代替时, 我们就得到了参数曲面面积的如下 积分定义: 定义 14.3.1 (面积公式). 设 ϕ : Ω → R n 为非退化的 C 1 映射, Ω 为 R m 中可 求面积的集合, 则 ϕ(Ω) 的面积定义为 σ(ϕ(Ω)) = ∫ Ω √ det[(Jϕ)>Jϕ]. (14.5) L(R m) ϕ(Ω) L(R m) π ϕ(A) π(ϕ(A)) 图 14.9 参数曲面面积的定义 注. (1) 如果 ϕ(R m) ⊂ R m × {0}, 则公式 (14.5) 变成了引理 13.4.5 中的等式; 如果 m = 1, 则 (14.5) 就是连续可微曲线的弧长公式. (2) 与曲线一样, 曲面可以选取不同的参数化. 如果 φ : Ω0 → Ω 是 C 1 的可逆 映射, 则 ϕ ◦ φ : Ω0 → R m 也是参数曲面, 它们的面积用 (14.5) 式定义出来是一致 的 (习题). 例 14.3.1. R 3 中参数曲面的面积公式. 设 r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ((u, v) ∈ D) 为参数曲面, 则根据前面的 讨论, 其面积为 σ = ∫ D kru × rvk dudv = ∫ D √ EG − F2 dudv, (14.6) 其中 E = ru · ru = x 2 u + y 2 u + z 2 u , G = rv · rv = x 2 v + y 2 v + z 2 v , F = ru · rv = xuxv + yuyv + zuzv

100第十四章曲线积分与曲面积分特别地，当曲面由方程z=f(r,y), (r,y)ED给出时，r=(1,0,f),Ty=(0,1,fu)，因此EG-F2=(1+f)(1+f)-(ffu)?=1+f+f曲面的面积公式成为1++drdy(14.7)例14.3.2.求球面2+92+22=a2的面积解.二维球面的参数表示为=asincosg, y=asinpsing, z=acos,[0,], [0,2]此时r=(acospcosd,acossing,asinp),re=(asinpsing,asinpcoso),因此EG-F?=a'sinp,从而球面面积为asinpdp=4na?IF例14.3.3.参数超曲面的面积.设：2→R为参数超曲面，其中(p(u)= p(u1,..,un-1), u= (u1,...,un-1) en.超曲面的切向量为Pu1…，Pun-1根据前面的讨论，超曲面的面积为g=llpu X..X Pun--ll du....dun--.(14.8)例14.3.4.设f:D→R为连续可微函数，DCRn-1.则graph(f)为Rn中的超曲面，其面积公式为V+VfI2(14.9)其中Vf=（f1,,frn-1）是于的梯度

100 第十四章 曲线积分与曲面积分 特别地, 当曲面由方程 z = f(x, y), (x, y) ∈ D 给出时, rx = (1, 0, fx), ry = (0, 1, fy), 因此 EG − F 2 = (1 + f 2 x )(1 + f 2 y ) − (fxfy) 2 = 1 + f 2 x + f 2 y , 曲面的面积公式成为 σ = ∫ D √ 1 + f 2 x + f 2 y dxdy. (14.7) 例 14.3.2. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的面积. 解. 二维球面的参数表示为 x = a sin ϕ cos θ, y = a sin ϕ sin θ, z = a cos ϕ, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π]. 此时 rϕ = (a cos ϕ cos θ, a cos ϕ sin θ, −a sin ϕ), rθ = (−a sin ϕ sin θ, a sin ϕ cos θ, 0), 因此 EG − F 2 = a 4 sin2 ϕ, 从而球面面积为 σ = ∫ 2π 0 dθ ∫ π 0 a 2 sin ϕdϕ = 4πa2 . 例 14.3.3. 参数超曲面的面积. 设 ϕ : Ω → R n 为参数超曲面, 其中 ϕ(u) = ϕ(u1, · · · , un−1), u = (u1, · · · , un−1) ∈ Ω. 超曲面的切向量为 ϕu1 , · · · , ϕun−1 . 根据前面的讨论, 超曲面的面积为 σ = ∫ Ω kϕu1 × · · · × ϕun−1 k du1 · · · dun−1. (14.8) 例 14.3.4. 设 f : D → R 为连续可微函数, D ⊂ R n−1 . 则 graph(f) 为 R n 中 的超曲面, 其面积公式为 σ = ∫ D √ 1 + k∇fk 2, (14.9) 其中 ∇f = (fx1 , · · · , fxn−1 ) 是 f 的梯度

101814.3第一型曲面积分这是（14.7)式的推广：graph(f）的参数表示为(p(r)=(r1,...,En-1,f(r1,,Tn-1)),r=(r1,...,In-1)ED此时Pri X...X Pan-1 =(-1)"(fr,..., frn-1,-1)于是（14.9式可从(14.8）式导出例14.3.5.求[1+·..+n=a,≥0,i=1,,n]的面积,其中a>0.解.记An-1(a)=(αERn-11+... + n-1≤a, i≥0, 1<i≤n-1),则所考虑的曲面有参数表示p: △n-1(a) →Rn, (r) =(μ,f(r)),其中f(r)=a--In-1.由(14.9)得VI+Vf2Vn,O(aJn-i(a)再根据第十三章中单形的体积公式得Vnα = Vno(An-1(a)(n-1)!例14.3.6.求球面2+y?+22+w2=a2的面积，解。根据对称性，只要计算上半球面的面积即可.上半球面的方程为w=Va2-2-y2-22,2+y?+22≤a2此时,1+ /Vwl2 = 1 +(-r/w)2 +(-y/w)2 + (-z/w)2 = (a/w)2根据（14.9）式有a0=2drdydz+y2+22<a2 Va2-r2- y2 - 22利用R3中的球面坐标，有ar2arsin edeg = 2dp=8元diVa2-r2Va2-r

§14.3 第一型曲面积分 101 这是 (14.7) 式的推广. graph(f) 的参数表示为 ϕ(x) = (x1, · · · , xn−1, f(x1, · · · , xn−1)), x = (x1, · · · , xn−1) ∈ D. 此时 ϕx1 × · · · × ϕxn−1 = (−1)n (fx1 , · · · , fxn−1 , −1). 于是 (14.9) 式可从 (14.8) 式导出. 例 14.3.5. 求 {x1 + · · · + xn = a, xi ≥ 0, i = 1, · · · , n} 的面积, 其中 a > 0. 解. 记 ∆n−1(a) = {x ∈ R n−1 | x1 + · · · + xn−1 ≤ a, xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n − 1}, 则所考虑的曲面有参数表示 ϕ : ∆n−1(a) → R n , ϕ(x) = (x, f(x)), 其中 f(x) = a − x1 − · · · − xn−1. 由 (14.9) 得 σ = ∫ ∆n−1(a) √ 1 + k∇fk 2 = ∫ ∆n−1(a) √ n, 再根据第十三章中单形的体积公式得 σ = √ n σ(∆n−1(a)) = √ n (n − 1)!a n−1 . 例 14.3.6. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a 2 的面积. 解. 根据对称性, 只要计算上半球面的面积即可. 上半球面的方程为 w = √ a 2 − x 2 − y 2 − z 2, x2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , 此时, 1 + k∇wk 2 = 1 + (−x/w) 2 + (−y/w) 2 + (−z/w) 2 = (a/w) 2 , 根据 (14.9) 式有 σ = 2 ∫ x2+y2+z 2≤a2 a √ a 2 − x 2 − y 2 − z 2 dxdydz, 利用 R 3 中的球面坐标, 有 σ = 2 ∫ a 0 ar2 √ a 2 − r 2 dr ∫ π 0 sin θdθ ∫ 2π 0 dϕ = 8π ∫ a 0 ar2 √ a 2 − r 2 dr