102第十四章曲线积分与曲面积分在上式中利用变量代换r=asint，最后得a3sin?tdt=2元?a30=8元0口这个例题还可以用R4中的球面坐标来做，这样可以避免W=0的问题.值得指出的是，我们在定义参数曲面的面积时要求曲面是C1的，这主要是要用到曲面的切平面：我们将曲面上无穷小区域的面积近似地看成它在切平面上的投影的面积，求和再取极限以后定义为曲面的面积.这和曲线的长度的定义似乎有些不同，曲线的长度可以用折线段的长度去逼近那么，能否象曲线那样，通过在曲面上取分割，然后用以分点为顶点的多边形（比如三角形）的面积和去逼近曲面的面积呢？Schwarz曾经举过一个例子（圆柱面）说明这样的定义是行不通的.对于一般的曲面，定义面积需要引入Hausdorf测度的概念，进一步的讨论超出了本课程的范围，有兴趣的读者可以参看几何测度论的著作有了曲面面积的定义，我们可以讨论曲面上有界函数的积分，为了简单起见，只考虑连续函数的情形定义14.3.2（第一型曲面积分).设：2→R"为C的参数曲面，f是定义在此曲面上的连续函数，则于在上的曲面积分定义为fda =f Vdet[(Jo)TJ]+第一型曲面积分的物理含义：分布在曲面上的某种物质，如果其密度函数为p则e在曲面上的积分就是物质的质量211例14.3.7.计算曲面积分=da,其中/52为球面2+y2+z2=a2被平面z=h所截下的顶部，此处0<h<a.h解.的方程为y0z=Va2-r2-y222+g2≤a2-h2因此图14.10球帽-da=+-/++gdrdyadrdyJ2+y?a2-h2 a?-r?- y?a2-h2ardedra2-r2=2元aln（
102 第十四章 曲线积分与曲面积分 在上式中利用变量代换 r = a sin t, 最后得 σ = 8π ∫ π 2 0 a 3 sin2 tdt = 2π 2 a 3 . 这个例题还可以用 R 4 中的球面坐标来做, 这样可以避免 w = 0 的问题. 值得指出的是, 我们在定义参数曲面的面积时要求曲面是 C 1 的, 这主要是要 用到曲面的切平面. 我们将曲面上无穷小区域的面积近似地看成它在切平面上的 投影的面积, 求和再取极限以后定义为曲面的面积. 这和曲线的长度的定义似乎有 些不同. 曲线的长度可以用折线段的长度去逼近. 那么, 能否象曲线那样, 通过在曲 面上取分割, 然后用以分点为顶点的多边形 (比如三角形) 的面积和去逼近曲面的 面积呢? Schwarz 曾经举过一个例子 (圆柱面) 说明这样的定义是行不通的. 对于一 般的曲面, 定义面积需要引入 Hausdorff 测度的概念, 进一步的讨论超出了本课程 的范围, 有兴趣的读者可以参看几何测度论的著作. 有了曲面面积的定义, 我们可以讨论曲面上有界函数的积分, 为了简单起见, 只 考虑连续函数的情形. 定义 14.3.2 (第一型曲面积分). 设 ϕ : Ω → R n 为 C 1 的参数曲面, f 是定义 在此曲面 Σ 上的连续函数, 则 f 在 Σ 上的曲面积分定义为 ∫ Σ f dσ = ∫ Ω f √ det[(Jϕ)>Jϕ]. 第一型曲面积分的物理含义: 分布在曲面上的某种物质, 如果其密度函数为 ρ, 则 ρ 在曲面上的积分就是物质的质量. h 0 y z 图 14.10 球帽 例 14.3.7. 计算曲面积分 ∫ Σ 1 z dσ, 其中 Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被平面 z = h 所截下 的顶部, 此处 0 < h < a. 解. Σ 的方程为 z = √ a 2 − x 2 − y 2, x2 + y 2 ≤ a 2 − h 2 . 因此 ∫ Σ 1 z dσ = ∫ x2+y2≤a2−h2 1 z √ 1 + z 2 x + z 2 y dxdy = ∫ x2+y2≤a2−h2 a a 2 − x 2 − y 2 dxdy = ∫ √ a2−h2 0 ar a 2 − r 2 dr ∫ 2π 0 dθ = 2πa ln ( a h ) .
103814.3第一型曲面积分例14.3.8.设抛物面z=2-(r2+y)，z≥0上分布着密度为p(a,y)=r2+2的物质，求该物质的质量，解.该物质的质量m为p(r,y)=r2+y?在曲V29面上的积分，即0(r+y)/1+2+zdrdym=图14.11抛物面J12+y2≤2(r2 + y2)V1+ 4(r2 + y2)drdyJ2+y*≤2F2V1+4r2rdrdeT14930习题14.31.用重积分的变量替换公式证明，参数曲面的面积与参数的选取无关2.求z=ary包含在圆柱2+=a?内的面积3.求锥面22=2+?被柱面2+y2-2a=0在z≥0的部分截下的面积4.计算球面2+y?+?=a2被柱面2+y?=ar所截下的面积5.计算曲面1/+2/++=a的面积6.计算n维球面+++=a2的面积.7.重新研究第七章第一节中几种曲面的面积公式，它们和本节中的定义一致吗？8.计算下列曲面积分：/(a+y+2)do,为2++22=2,z≥0(1)da(2)，为+y+z=1,a,y,≥0;Js(1+r+y)2222r2(3)/V2/a4+y?/64+22/c4da,为++=1;(4)yzdo为z=a2,z≤1.9.设球面2+y?+z2=a2上分布着密度为p的均匀物质，求该物质的引力场10.用S2表示球面2+9?+2=1.当f连续时，证明f(ar+by+cz)da=2元/f(uVa2+b2+)du
§14.3 第一型曲面积分 103 2 √ 2 0 y z 图 14.11 抛物面 例 14.3.8. 设抛物面 z = 2 − (x 2 + y 2 ), z ≥ 0 上分布着密度为 ρ(x, y) = x 2 + y 2 的物质, 求该物质 的质量. 解. 该物质的质量 m 为 ρ(x, y) = x 2 + y 2 在曲 面上的积分, 即 m = ∫ x2+y2≤2 (x 2 + y 2 ) √ 1 + z 2 x + z 2 y dxdy = ∫ x2+y2≤2 (x 2 + y 2 ) √ 1 + 4(x 2 + y 2)dxdy = ∫ √ 2 0 r 2 √ 1 + 4r 2 rdr ∫ 2π 0 dθ = 149 30 π. 习题 14.3 1. 用重积分的变量替换公式证明, 参数曲面的面积与参数的选取无关. 2. 求 z = axy 包含在圆柱 x 2 + y 2 = a 2 内的面积. 3. 求锥面 z 2 = x 2 + y 2 被柱面 x 2 + y 2 − 2ax = 0 在 z ≥ 0 的部分截下的面积. 4. 计算球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被柱面 x 2 + y 2 = ax 所截下的面积. 5. 计算曲面 |x1| + |x2| + · · · + |xn| = a 的面积. 6. 计算 n 维球面 x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n = a 2 的面积. 7. 重新研究第七章第一节中几种曲面的面积公式, 它们和本节中的定义一致吗? 8. 计算下列曲面积分: (1) ∫ Σ (x + y + z)dσ, Σ 为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0; (2) ∫ Σ dσ (1 + x + y) 2 , Σ 为 x + y + z = 1, x, y, z ≥ 0; (3) ∫ Σ √ x 2/a4 + y 2/b4 + z 2/c4 dσ, Σ 为 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1; (4) ∫ Σ xyzdσ, Σ 为 z = x 2 + y 2 , z ≤ 1. 9. 设球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 上分布着密度为 ρ 的均匀物质, 求该物质的引力场. 10. 用 S 2 表示球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1. 当 f 连续时, 证明 ∫ S2 f(ax + by + cz)dσ = 2π ∫ 1 −1 f ( u √ a 2 + b 2 + c 2 ) du
104第十四章曲线积分与曲面积分814.4第二型曲面积分首先我们考虑一个物理问题：设空间中有流速为=（P.Q.R）的流体，求单位时间内通过曲面的流体的流量，要计算流量，必须给曲面指定方向。我们规定，曲面在某点的方向是指该点处的一个单位法向量，指定方向以后，可用所谓的“微元法”计算流量如下：任取的一小片，其面积记为da，经过这一小片的流体速度为，曲面的单位法向量为亢，则单位时间内通过这一小片曲面的流体的流量d为·ndo.于是单位时间内经过的流量重可写为积分u.nda:u.de重=(14.10)M其中d=πdo称为有向面积元从（14.10）式可以看出，流量与曲面方向的选取有关方向的变化可导致流量的数值相差一个正负号.如果在曲面上存在连续的单位法向量场，则称该曲面可定向，否则就称该曲面不可定向.本节所涉及的曲面都假定是可定向的，对于可定向曲面，其定向(方向)是指一个连续的单位法向量场元为了计算（14.10）式中的积分，我们通常要给曲面选取适当的参数表示.设P:D→R3为的参数表示，其中(u,n) = (r(u,u), y(u,v), z(u,v), (u,) E D记=pu×Pu则(0(y,2) 0(z,) 0(,))N=(yuzu-zuyu,zut-Tuzu,tuyu-Yutu)=(a(u,)a(u,)a(u,w))N为曲面的法向量.如果N/NI=亢.则称是与给定定向相容的参数表示.我们总是选取与给定定向相容的参数表示根据前节中的讨论，曲面的面积元可写为dg=Nlldudu.此时（14.10）式可写为[ [au. +Q + Ro dudu.=/.Ndudu=(14.11)Qa(u,u)a(u,u))[o(u,u)JF另一方面，记d=（dy^dz,dz^dr,da^dy)，其中dy^dz是有向面积元de在yz平面上的投影，dz^dr是de在zr平面上的投影，dr^dy是de在ay平面上的投影.此时（14.10）式也可写为.d=重=Pdy^dz+Qdz^dr+Rdrdy(14.12)JES由d=Ndudu可见a(y,2) dudu, dz A dr azdudu,dady=a(r,) dudo.dy ^dz =a(u,v)(u,v)o(u,v)
104 第十四章 曲线积分与曲面积分 §14.4 第二型曲面积分 首先我们考虑一个物理问题: 设空间中有流速为 ~v = (P, Q, R) 的流体, 求单位 时间内通过曲面 Σ 的流体的流量. 要计算流量, 必须给曲面指定方向. 我们规定, 曲面在某点的方向是指该点处的一个单位法向量. 指定方向以后, 可用所谓的 “微 元法” 计算流量如下: 任取 Σ 的一小片, 其面积记为 dσ, 经过这一小片的流体速度 为 ~v, 曲面的单位法向量为 ~n, 则单位时间内通过这一小片曲面的流体的流量 dΦ 为 ~v · ~n dσ. 于是单位时间内经过 Σ 的流量 Φ 可写为积分 Φ = ∫ Σ ~v · ~n dσ = ∫ Σ ~v · d~σ, (14.10) 其中 d~σ = ~n dσ 称为有向面积元. 从 (14.10) 式可以看出, 流量与曲面方向的选取有关. 方向的变化可导致流量 的数值相差一个正负号. 如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定 向, 否则就称该曲面不可定向. 本节所涉及的曲面都假定是可定向的. 对于可定向 曲面, 其定向(方向)是指一个连续的单位法向量场 ~n. 为了计算 (14.10) 式中的积分, 我们通常要给曲面选取适当的参数表示. 设 ϕ : D → R 3 为 Σ 的参数表示, 其中 ϕ(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) , (u, v) ∈ D. 记 N~ = ϕu × ϕv, 则 N~ = (yuzv − zuyv, zuxv − xuzv, xuyv − yuxv) = (∂(y, z) ∂(u, v) , ∂(z, x) ∂(u, v) , ∂(x, y) ∂(u, v) ) . N~ 为曲面的法向量. 如果 N / ~ kN~ k = ~n, 则称 ϕ 是与给定定向相容的参数表示. 我 们总是选取与给定定向相容的参数表示. 根据前节中的讨论, 曲面的面积元可写为 dσ = kN~ k dudv. 此时 (14.10) 式可写为 Φ = ∫ D ~v · N dudv ~ = ∫ D [ P ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ∂(z, x) ∂(u, v) + R ∂(x, y) ∂(u, v) ] dudv. (14.11) 另一方面, 记 d~σ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy), 其中 dy ∧ dz 是有向面积元 d~σ 在 yz 平面上的投影, dz ∧ dx 是 d~σ 在 zx 平面上的投影, dx ∧ dy 是 d~σ 在 xy 平面 上的投影. 此时 (14.10) 式也可写为 Φ = ∫ Σ ~v · d~σ = ∫ Σ P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy. (14.12) 由 d~σ = N dudv ~ 可见 dy ∧ dz = ∂(y, z) ∂(u, v) dudv, dz ∧ dx = ∂(z, x) ∂(u, v) dudv, dx ∧ dy = ∂(x, y) ∂(u, v) dudv