92第十四章曲线积分与曲面积分从而有azds="(a/2)"sin? t. (a/2)dtTa34V2习题14.11.设:[α,]-→Rn为可求长参数曲线,Φ:[a,b]→[α,β]为连续的可逆映射.证明o的长度与相同.2.设α为可求长的连续曲线，则L(o)=lim。L(a;元).l→03.证明曲线长度的可加性4.用定义证明，如果可求长的曲线长度为零，则必定是常值的5.计算下列空间曲线的弧长：(1) r(t) = t, y(t) =t2, z(t) =号t3, te[0,1];(2) ++ z=a(la<3), 2 + + 22 =16.计算下列曲线积分：(1）/yds，其中α是抛物线y2=2p从(0,0)到(2p,2p)的部分;12y2)yds，其中α是椭圆+=1在轴上方的部分；/ds，其中是圆周a2+g2+22=a2,+y+z=0;(3)(4)/(+y)ds，其中α是顶点为(0,0),(1,0)，(0,1)的三角形7.形状为椭圆+=1的物质在(z,)处的密度为p(z.1)=l求其质量.8.(*)定义平面曲线()=(,y(r))为cOs，0<,y(r) =0,Z = 0.证明α不是可求长曲线
92 第十四章 曲线积分与曲面积分 从而有 ∫ σ xzds = ∫ 2π 0 ( a/2 )2 sin2 t · ( a/√ 2 ) dt = πa3 4 √ 2 . 习题 14.1 1. 设 σ : [α, β] → R n 为可求长参数曲线, φ : [a, b] → [α, β] 为连续的可逆映射. 证 明 σ ◦ φ 的长度与 σ 相同. 2. 设 σ 为可求长的连续曲线, 则 L(σ) = lim kπk→0 L(σ; π). 3. 证明曲线长度的可加性. 4. 用定义证明, 如果可求长的曲线长度为零, 则必定是常值的. 5. 计算下列空间曲线的弧长: (1) x(t) = t, y(t) = t 2 , z(t) = 2 3 t 3 , t ∈ [0, 1]; (2) x + y + z = a (|a| < √ 3), x 2 + y 2 + z 2 = 1. 6. 计算下列曲线积分: (1) ∫ σ yds, 其中 σ 是抛物线 y 2 = 2px 从 (0, 0) 到 (2p, 2p) 的部分; (2) ∫ σ yds, 其中 σ 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 在 x 轴上方的部分; (3) ∫ σ x 2 ds, 其中 σ 是圆周 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x + y + z = 0; (4) ∫ σ (x + y)ds, 其中 σ 是顶点为 (0, 0), (1, 0), (0, 1) 的三角形. 7. 形状为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 的物质在 (x, y) 处的密度为 ρ(x, y) = |y|, 求其质量. 8. (∗) 定义平面曲线 σ(x) = ( x, y(x) ) 为 y(x) = x cos 1 x , 0 < x ≤ π 2 , 0, x = 0. 证明 σ 不是可求长曲线
93814.2第二型曲线积分814.2第二型曲线积分现在我们考虑这样一个物理问题：设质点在力场F中沿一条曲线α运动，求力场F对该质点所做的功。我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题为此，设α：[α,B]→R"为一条参数曲线，f是定义在α上的取值在Rn中的一个向量值函数，其分量记为fi(1≤i≤n).任取[α,B]的一个分割T:α=to<ti<t2<...<tm=β考虑和mZf(o(s)(r;(t) - ;(ti-1), (b E [tj-1,tl)(14.1)j=1如果极限n.存在且与[$的选取无关，则称此极限为fidr沿曲线α的第二型曲线积分，记为limfi(o(6)(ri(t)-ri(tj-1)fidri=1元0如果每一个fidr沿的第二型曲线积分都存在，则记fidai +..+fndan =fidri +...fndrn这个积分称为形式和fidri++fndan沿α的第二型曲线积分，在不引起混淆的情况下也称为f沿。的第二型曲线积分初看起来第二型曲线积分似乎和第一型曲线积分并无本质不同，但这两类积分有一个重要的区别，这个区别和曲线的方向有关，为了说明这一点，我们考虑曲线的重新参数化．设：[,]→[α,B]为严格单调的可逆连续映射，则复合映射goΦ：[,]→R"也是一条参数曲线，它和α的像完全相同，这两条参数曲线只是选取了不同的参数而已.如果是严格单调递增的，则称这两个参数是同向的：如果是严格单调递减的，则称这两个参数是反向的（不同向）从（14.1）不难看出，对于同向的两个参数，第二曲线积分的值不变；而对于反向的两个参数，第二型曲线积分的值正好相差一个符号！这和第一型曲线积分是不同的，比如曲线的长度就不依赖于参数的选取，因此，为了使第二型曲线积分有意义，我们总是要给曲线指定一个方向，这个方向是由某个参数决定的.给定了方向的曲线称为有向曲线.如果参数反向，则新的有向曲线记为一0，这时有fidai+...+fnden=-fidri+...+fnden
§14.2 第二型曲线积分 93 §14.2 第二型曲线积分 现在我们考虑这样一个物理问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求 力场 F 对该质点所做的功. 我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题. 为此, 设 σ : [α, β] → R n 为一条参数曲线, f 是定义在 σ 上的取值在 R n 中的 一个向量值函数, 其分量记为 fi (1 ≤ i ≤ n). 任取 [α, β] 的一个分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 考虑和 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)), (ξj ∈ [tj−1, tj ]) (14.1) 如果极限 lim kπk→0 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)) 存在且与 {ξj} 的选取无关, 则称此极限为 fidxi 沿曲线 σ 的第二型曲线积分, 记为 ∫ σ fidxi = lim kπk→0 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)). 如果每一个 fidxi 沿 σ 的第二型曲线积分都存在, 则记 ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∫ σ f1dx1 + · · · + ∫ σ fndxn, 这个积分称为形式和 f1dx1 + · · · + fndxn 沿 σ 的第二型曲线积分, 在不引起混淆 的情况下也称为 f 沿 σ 的第二型曲线积分. 初看起来第二型曲线积分似乎和第一型曲线积分并无本质不同. 但这两类积 分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向有关. 为了说明这一点, 我们考虑曲 线的重新参数化. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ : [γ, δ] → R n 也是一条参数曲线, 它和 σ 的像完全相同, 这两条参数曲线只是 选取了不同的参数而已. 如果 φ 是严格单调递增的, 则称这两个参数是同向的; 如 果 φ 是严格单调递减的, 则称这两个参数是反向的 (不同向). 从 (14.1) 不难看出, 对于同向的两个参数, 第二曲线积分的值不变; 而对于反 向的两个参数, 第二型曲线积分的值正好相差一个符号! 这和第一型曲线积分是不 同的, 比如曲线的长度就不依赖于参数的选取. 因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个 方向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线. 如果参数反向, 则新 的有向曲线记为 −σ, 这时有 ∫ −σ f1dx1 + · · · + fndxn = − ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn
94第十四章曲线积分与曲面积分对于可求长曲线来说，第二型曲线积分也是Riemann-Stieltjes积分的特殊情形.对于（分段）连续可微曲线，第二型曲线积分可以转化为Riemann积分：fidri+..+fndan=Ef(o(t)(t)dt如果记F=（fi.，fn）,则上式可写为fidai+...+fndan=F(o) .'(t) dt,(14.2)其中o (t)=(ri(t),.…,,(t))为曲线α的切向量例14.2.1.Riemann积分作为第二型的曲线积分设于为[a,]上的可积函数，则定积分f(r)da就是f(r)d沿区间[a,b]的第二型曲线积分，其中区间看成一条曲线，它的方向是参数给出的，即轴的正向.我们之所以规定f(a)da =f(r)da口就是因为f(a)da沿[a,{]的相反方向的第二型曲线积分要变一个符号例14.2.2.环路积分如果α为一条闭曲线（环路),即α(α)=α(βB),则选定了方向以后，不论从曲线上哪一点出发，沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变，通常我们将这样的积分记为pfidai+...+fndinJo单位圆周s1就是平面上的一条闭曲线，如果用参数方程o(t) = (cost, sint), t e[0,2π]口表示，则S1的方向就是所谓逆时针方向
94 第十四章 曲线积分与曲面积分 对于可求长曲线来说, 第二型曲线积分也是 Riemann-Stieltjes 积分的特殊情 形. 对于 (分段) 连续可微曲线, 第二型曲线积分可以转化为 Riemann 积分: ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∑n i=1 ∫ β α fi(σ(t))x 0 i (t)dt. 如果记 F = (f1, · · · , fn), 则上式可写为 ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∫ β α F(σ) · σ 0 (t) dt, (14.2) 其中 σ 0 (t) = (x 0 1 (t), · · · , x0 n(t)) 为曲线 σ 的切向量. 例 14.2.1. Riemann 积分作为第二型的曲线积分. 设 f 为 [a, b] 上的可积函数, 则定积分 ∫ b a f(x)dx 就是 f(x)dx 沿区间 [a, b] 的 第二型曲线积分, 其中区间看成一条曲线, 它的方向是参数 x 给出的, 即 x 轴的正 向. 我们之所以规定 ∫ a b f(x)dx = − ∫ b a f(x)dx 就是因为 f(x)dx 沿 [a, b] 的相反方向的第二型曲线积分要变一个符号. 例 14.2.2. 环路积分. 如果 σ 为一条闭曲线 (环路), 即 σ(α) = σ(β), 则选定了方向以后, 不论从曲线 上哪一点出发, 沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变, 通常我们将这样的积分记 为 I σ f1dx1 + · · · + fndxn. 单位圆周 S 1 就是平面上的一条闭曲线, 如果用参数方程 σ(t) = (cost, sin t), t ∈ [0, 2π] 表示, 则 S 1 的方向就是所谓逆时针方向.
$14.2第二型曲线积分95yt例14.2.3.计算第二型曲线积分yrI= dr-+ydy,Jca2+y?其中C为圆周?+9=a2,方向为逆时针方向.解按照给定的方向取C的参数方程为r(t) =acost, y(t) =asint, te[0, 2].图14.4逆时针圆此时有I = asint(a cost - acos (asint)] t = -2m.Joyt例14.2.4.计算第二型曲线积分I=p (y - 2)dr + (z-r)dy + (r-y)dz,JC其中C是圆周2+y?+22=a,y=rtana(0<α),从的正向看去,C 的方向是逆时针的，解.根据方向取C的参数方程为图14.5球面圆r(0) = a cos cos Q, y(0) = a cos sin a, z(0) = a sin 0,其中[0,2元]于是积分为I(acossinq-asin)(asingcosa)d+(asin-acoscosa)x(asinsin)do+(acoscosQacossina)acosdoa2(cos α - sin a)de = 2d?(cos a - sinα)
§14.2 第二型曲线积分 95 a a 0 y x 图 14.4 逆时针圆 例 14.2.3. 计算第二型曲线积分 I = I C y x 2 + y 2 dx − x x 2 + y 2 dy, 其中 C 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 , 方向为逆时针方 向. 解. 按照给定的方向取 C 的参数方程为 x(t) = a cost, y(t) = a sin t, t ∈ [0, 2π]. 此时有 I = ∫ 2π 0 1 a 2 [ a sin t(a cost) 0 − a cost(a sin t) 0 ] dt = −2π. α a a 0 y x 图 14.5 球面圆 例 14.2.4. 计算第二型曲线积分 I = I C (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, 其中 C 是圆周 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , y = x tan α (0 < α < π 2 ), 从 x 的正向看去, C 的方向是逆时 针的. 解. 根据方向取 C 的参数方程为 x(θ) = a cos θ cos α, y(θ) = a cos θ sin α, z(θ) = a sin θ, 其中 θ ∈ [0, 2π]. 于是积分为 I = ∫ 2π 0 (a cos θ sin α − a sin θ)(−a sin θ cos α)dθ + (a sin θ − a cos θ cos α) × (−a sin θ sin α)dθ + (a cos θ cos α − a cos θ sin α)a cos θ dθ = ∫ 2π 0 a 2 (cos α − sin α)dθ = 2πa2 (cos α − sin α)
96第十四章曲线积分与曲面积分yt例14.2.5.考虑位于原点处的电荷9产a(α)生的静电场，计算单位正电荷沿连续可微曲A线从点A=(α)到点B=(β)电场所作的功W.2解.这是一个第二型的曲线积分问题.根据库仑定律，（,y,2)处的单位正电荷在静电场中所受的力为o(β)TF-号-o。 其中0-号图14.6电场作功因此F沿。所作的功为qT+5+W=r3F(o)-a'(t) dt =(oa)'dtqr(α)r(B)这说明，静电场所作的功只与单位电荷的起始位置和终点位置有关，与具体运动路径无关.口习题14.21.计算下列积分：(1)rdr+ydy+zdz，C是从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段；Te(2)/ (2+g°)da+(2-y)dy，C是以(1,0), (2,0),(2,1),(1,1)为顶点的正方形，逆时针方向；+)dz()dyC是圆+=a2,时针方向;(3) Φ2+y?Io(4) / (z?-2ary)da + (g2-2ry)dy, C 是抛物线 y=z2 从 (-1,1)到 (1,1) 的一段.r??(5)Φ(r+y)d+(a-y)dy,C是椭圆=1,逆时针方向a262Jc2.计算积分(y-z)da+(z-r)dy +(r-y)dz,其中C为椭圆?+y?=1,工+z=1,从的正向看去，C沿顺时针方向
96 第十四章 曲线积分与曲面积分 σ(α) σ(β) F~ q z y x 图 14.6 电场作功 例 14.2.5. 考虑位于原点处的电荷 q 产 生的静电场, 计算单位正电荷沿连续可微曲 线 σ 从点 A = σ(α) 到点 B = σ(β) 电场所 作的功 W. 解. 这是一个第二型的曲线积分问题. 根 据库仑定律, (x, y, z) 处的单位正电荷在静电 场中所受的力为 F~ = q ~r r 3 = ∇φ, 其中 φ = − q r . 因此 F~ 沿 σ 所作的功为 W = ∫ σ qx r 3 dx + qy r 3 dy + qz r 3 dz = ∫ β α F~ (σ) · σ 0 (t) dt = ∫ β α ( φ ◦ σ )0 dt = q r(α) − q r(β) . 这说明, 静电场所作的功只与单位电荷的起始位置和终点位置有关, 与具体运动路 径无关. 习题 14.2 1. 计算下列积分: (1) ∫ C xdx + ydy + zdz, C 是从 (1, 1, 1) 到 (2, 3, 4) 的直线段; (2) ∫ C (x 2 + y 2 )dx + (x 2 − y 2 )dy, C 是以 (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1) 为顶点的正 方形, 逆时针方向; (3) I C (x + y)dx − (x − y)dy x 2 + y 2 , C 是圆 x 2 + y 2 = a 2 , 逆时针方向; (4) ∫ C (x 2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy, C 是抛物线 y = x 2 从 (−1, 1) 到 (1, 1) 的 一段. (5) I C (x + y)dx + (x − y)dy, C 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, 逆时针方向. 2. 计算积分 ∫ C (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, 其中 C 为椭圆 x 2 + y 2 = 1, x + z = 1, 从 x 的正向看去, C 沿顺时针方向.