ut ed 第三节数量积向量积混合积 、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积
第三节 数量积 向量积 混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积
两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=Fl|cose(其中0为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 1定义向量a与b的数量积为n·b d·b=‖b|cos6(其中为与b的夹角) 数量积也称为“点积”、“内积” 上一页下一页返回
一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F || s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其中 为a 与b 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 1.定义 数量积也称为“点积”、“内积”. 一、两向量的数量积
关于数量积的说明 (1)a·a=n 证∵6=0,∴·a=l‖ a cos 6=l (2)a·b=0÷→l⊥b 证(→):a·b=0,|a≠0,|b|≠0, c0s=0,=箕,∴a⊥b 2 (÷)alb,,8=;,:c0s6=0, n·b=l‖b|cos6=0. 上一页下一页现回
关于数量积的说明： (2) a b = 0 a b. ⊥ () a b = 0, | a | 0, | b | 0, cos = 0, a b. ⊥ (1) | | . 2 a a a = () a b, ⊥ cos = 0, a b =| a || b | cos = 0. = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a 证 = = 证 = , 2 , 2 =
(3)|b|cos(a,b)这个数叫做向量b在向量a上的投影 记作P、b,即 P→b=|b|cos(a2b) ab= cos(a, b)=a p, b r a a·b=b|P,a 旷b 结论:两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 个向量在这向量方向上的投影的乘积 对于a=axi+aυj+ k 上一页下一页返回
b a (3) | | cos( , ) → → → b a b 这个数叫做向量 在向量 上的投影. 记作 ，即 → → b rj a P | | cos( , ) → → → → P → b b a b rj a ＝ → → → → → → → → a b = a b a b = a P → b rj a | | | | cos( , ) | | → → → → a b = b P → a rj b | | 结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量方向上的投影的乘积. ， → + → + → = → k z j a y i a x 对于 a a
由于a1=a|cos(a,x), =a cos(a, y), a,=acos(a, 4) 所以a的坐标(a,a1,2)正是向量a在x,y,z轴上的投影 (4)基本向量的数量积公式 1,j·j=1,kk i·j=0,tk=0,广k=0 上一页下一页返回
| | cos( , ）, → → 由于ax = a a x | | cos( , ), → → a = a a y y | | cos( , ) → → a = a a z z ( , , ) 所以 ax ay a z 在 → a 的坐标 正是向量 → a x, y,z 轴上的投影。 （4）基本向量的数量积公式 = 1, = 1, = 1 → → → → → → i i j j k k = 0, = 0, = 0 → → → → → → i j i k j k