ut ed 第二节定积分在几何丰的应用 平面图形的面积 二空间立体的体积 平面曲线的弧长 四小结
第二节 定积分在几何上的应用 一 平面图形的面积 二 空间立体的体积 三 平面曲线的弧长 四 小结
、平面图形的面积 直角坐标系情形 y=∫(x) y=∫2(x) vi=f(x) x+△v 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=/(x)A=1/(x)-f1(x)h 穿针法或微元素法被积函数上-下、右一左 上一页下一页返回
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x x a b x + x xx 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 穿针法或微元素法 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 被积函数上-下、右-左 一、平面图形的面积 1 直角坐标系情形
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围 成的图形的面积 解两曲线的交点解方程组y三x=y y=x (0,0)(1,1) J 选x为积分变量∈|0,一 面积元素d4=(x-x)dx 2 3 3 3 0 注被积函数为上-下,上为2=x下为=x2 上一页下一页返回
例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围 成的图形的面积. 2 y = x 2 解 两曲线的交点， x = y (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = = = 2 2 y x y x 解方程组 注 被积函数为上-下，上为 y = x 下为 2 2 y = x
例2计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所 围成的图形的面积 解两曲线的交点 2x y =式 (2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈[-2,4 A=y+42/④=18.注被积函数为“右左” 右为直线,左为抛物线 上一页下一页返回
例 2 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线y = x − 4所 围成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] 18. 2 4 4 2 2 = = − + − dy y A y y 2x 2 = y = x − 4 注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程x=( ly=y(t) 曲边梯形的面积A=v(lp(at (其中千和2对应曲线起点与终点的参数值) 在[t1,t2](或[t2,1])上x=q(1)具有连续 导数,y=v(t)连续 上一页下一页返回
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续 导数， y = (t)连续