上次课复习： 1、函数在一点连续的定义 (1)若Iim[f(x+△x)-f(x)]=lim△y=0 则称f(x)在点x,连续。 (2)若Vε>0,36>0，当x-x<时，恒有f()-f(x,<8 (3)若Iimf(x)=f(x),则称f(x)在点x,连续。 x->xo 2、间断点及其分类 第一类间断点：可去间断点；跳跃间断点。 第二类间断点：（非第一类间断点）无穷间断点；振 荡间断点
2、间断点及其分类 第一类间断点：可去间断点；跳跃间断点。 第二类间断点：（非第一类间断点）无穷间断点；振 荡间断点。 上次课复习： 1、函数在一点连续的定义 （1）若 则称 在点 连续。 （2） （3）若 ，则称 在点 x0 连续。 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 若 当 时，恒有 − − 0, 0, ( ) ( ) x x f x f x 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 x x f x x f x y → → + − = = f x( ) 0 x f x( )
§1.7闭区间上连续函数的基本性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1（四则运算)若函数f(x)和g(x)在点x。 连续，则 (1)f(x)±8(x)在点x,连续； (2)f(x)·8(x)在点x连续； (3) f() ,(g(x)≠0)在点x,连续； 8(x)
§1.7 闭区间上连续函数的基本性质 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 （四则运算）若函数 和 在点 连续，则 f x( ) 0 g x( ) x （1） f x g x ( ) ( ) 在点 x0 连续; （2） ( ) ( ) 在点 连续; f x g x 0 x 0 ( ) , ( ( ) 0) ( ) f x g x g x （3） 在点 x0 连续;
二、反函数和复合函数的连续性 定理2如果函数y=f(x)在区间I.上单值、 单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 x=p(y)也在对应的区间1，={yly=fx),x∈Ix} 上单值、单调增加（或单调减少）且连续. 定理3设函数u=p(x),当x趋于x时的极限存 在且等于4，即1im0(x)=4，而函数y=f()在点u, 连续，那么复合函数y=f(x)】当x趋于x时的极限 存在且等于f),即1mf[p(x]=limf(0=)·
二、反函数和复合函数的连续性 定理2 如果函数 = 在区间 上单值、 单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 也在对应的区间 上单值、单调增加（或单调减少）且连续． y f (x) x I x = ( y) I y = y | y = f (x), x I x 定理3 设函数 ，当 趋于 时的极限存 在且等于 ，即 ，而函数 在点 连续，那么复合函数 当 趋于 时的极限 存在且等于 ，即 ． u = (x) x 0 x 0 u 0 0 lim ( ) x x x u → = y = f (u) 0 u y = f(x) 0 x x 0 f u( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim ( ) x x u u f x f u f u → → = =
例1求limsin(1-x2) x→1 例2 求极限： sinx sinx (1 (2 lim x>0 定理4 若函数u=p(x)在点x=x连续，且 p(x)=4，函数y=f(w)在点u=山，连续，则复合 函数y=f[p(x)】在点x=x也连续。 注意：定理4可以表示为： lim f(p(x))=f(lim p(x))=f(p(x))
例1 求 2 1 limsin(1 ) x x → − 例2 求极限: 0 sin sin (1) lim 2 ; (2) lim 2 x x x x → → x x − − 定理4 若函数 在点 连续，且 ，函数 在点 连续 ，则复合 函数 在点 也连续。 u x = ( ) 0 x x = 0 ( ) x u 0 0 = u u = y f x = ( ) 0 x x = y f u = ( ) 注意: 定理4 可以表示为: 0 0 0 lim ( ( )) (lim ( )) ( ( )) x x x x f x f x f x → → = =
三、初等函数的连续性 由上述讨论知： 三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx 反三角函数 y=arcsin x,y=arccosx, y=arctanx,y=arccotx 指数函数 y=a',(a>0,a≠1) 对数函数 y=logx,(a>0,a≠1) 幂函数 y=x“ 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
三、初等函数的连续性 由上述讨论知： 三角函数 y x y x y x y x = = = = sin , cos , tan , cot 反三角函数 arcsin , arccos , arctan , cot y x y x y x y arc x = = = = 指数函数 , ( 0, 1) x y a a a = 对数函数 log , ( 0, 1) a y x a a = 幂函数 y x = 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的