§1.6函数的连续性与间断点 函数的连续性 1、每天的温度是随着时间而连续变化的。 2、行进中的列车的速度是随着时间而连续变化 的。 3、平面上的一条连续的曲线表现为纵坐标y随 着横坐标x而连续变化的
§1.6 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 1、每天的温度是随着时间而连续变化的。 2、行进中的列车的速度是随着时间而连续变化 的。 3、平面上的一条连续的曲线表现为纵坐标 y 随 着横坐标 x 而连续变化的
一般地，函数y=f(x),x∈U(x)在点x,有增量△x, 记△x=x一x。，称为自变量x(在点x)的增量。相应 的函数的增量记为： △y=f(x)-f(x)=f(x+△x)-f(xo)=y-yo 定义1设函数y=f(x)在某U(x)内有定义， Ax=xi(+Ax)-f()]=linAv=0, 则称函数f(x)在点x连续
0 0 0 0 = − = + − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) 定义 设函数 在某 内有定义， , 若 ， 则称函数 在点 连续。 y f x = ( ) 0 U x( ) f x( ) 0 x 0 = − x x x 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 x x f x x f x y → → + − = = 1 记 ，称为自变量 （在点 ）的增量。相应 的函数的增量记为: 0 = − x x x 0 x x 一般地，函数 0 在点 有增量 , y f x x U x = ( ), ( ) 0 x x
定义2设函数y=f(x)在某U(x)内有定义，若 Iimf(x)=f(xo),则称f(x)在点x,连续。 定义3若Vε>0,36>0，当x-x<时，恒有 f(x)-f(x)<8 由上述定义可知，若函数f(x)在点x,连续，则 f(x)在x必须同时具备： 1)∫在点x处有定义； 2) limf(x)存在； X->x 3) lim f(x)=f(xo)
定义2 设函数 在某 内有定义, 若 ，则称 在点 连续。 y f x = ( ) 0 U x( ) 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = f x( ) 0 x 2） x x lim ( ) → 0 f x 存在； 1） f 在点 x0 处有定义; 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → 3） = 。 0 0 0, 0, ( ) ( ) x x f x f x − − 定义3 若 当 时，恒有 由上述定义可知，若函数 在点 连续，则 在 必须同时具备： f x( ) 0 x 0 f x( ) x
定义4设函数∫在某U,(xU(x,》内有定义，若 lim f(x)=f(xo)(lim f(x)=f(xo)) X0 则称f在点x右（左）连续。 定理1 函数f在点x,连续的充要条件是：f在点x。 既是右连续，又是左连续。 如果函数y=f(x)在某区间上每一点都是连续 的（如果该区间包含端点，且在左端点处右连续， 右端点处左连续)，则称函数y=f(x)在该区间上 是连续的
定义4 设函数 在某 内有定义，若 则称 在点 右（左）连续。 f 0 0 U x U x ( )( ( )) + − 0 0 0 0 lim ( ) ( )(lim ( ) ( )) x x x x f x f x f x f x → → + − = = f 0 x 定理1 函数 在点 连续的充要条件是： 在点 既是右连续，又是左连续。 f 0 x f 0 x 如果函数 在某区间上每一点都是连续 的（如果该区间包含端点，且在左端点处右连续， 右端点处左连续），则称函数 在该区间上 是连续的。 y f x = ( ) y f x = ( )
在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+a1x+.+anx” (有理整函数) 在(-0，+0)内连续. 又如，有理分式函数R(x)= P(x) e(x) 在其定义域内连续， 只要Q(xo)≠0，都有1imR(x)=R(x) x→x0
C[a, b]. 例如, 在 内连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →