自我测试题参考答案 第一章函数连续极限 A级自测题 -.1.B.2.A.3.D.4.D.5.B.6.A. 二.1.【-3，-2U3,42.23.-34.0,1,任意常数5.16.m 三.1.生92}3a=1b=-14450 四.k=1五.连续区间为(-0，-1)，(-1,1)，(L,+o),x=士1为第一类（跳跃） 间断点.六.1.略2.提示：令px)=e-2-x B级自测题 -.1.A.2.C.3.B.4.A.5.D.6.D 二22心3-2a4x=012 三.1.12.33.04e5.26.g7.2 四.a=1,b=2. 五.1.4 2.提示：作辅助函数f(x)=(x-bx-c)+(x-cx-a)+(x-ax-b). 第二章导数与微分 A级自测题 -.1.C.2.D.3.C.4.D.5.C. 二.1.-1： 2.2: 3.e/[f'(x)》2+f"(x】:
1 自我测试题参考答案 第一章 函数 连续 极限 A 级自测题 一．1. B． 2. A． 3. D． 4. D． 5. B． 6. A． 二．1. [ 3, 2) (3,4] − − 2. 2 3. -3 4. 0, 1, 任意常数 5. 1 6. km 三．1. 2 p q + 2. 2 3 3. a b = = − 1, 1 4. 4 5. 0 四． k =1 五.连续区间为 ( , 1), ( 1,1), (1, ) − − − + , x =1 为第一类(跳跃) 间断点. 六.1.略 2.提示:令 ( ) 2 x p x e x = − − B 级自测题 一．1. A． 2. C． 3. B． 4. A． 5. D． 6. D 二．1.2 2. 2 e 3. 1 1 2 − a 4. x = 0,1,2 5. km e 三．1.1 2.3 3.0 4. e 5. 2 6. 2 7. 2 四． a b = = 1, 2． 五.1.4 2.提示:作辅助函数 f x x b x c x c x a x a x b ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = − − + − − + − − . 第二章 导数与微分 A 级自测题 一．1. C． 2. D． 3. C． 4. D． 5. C． 二．1. -1； 2. 2； 3. ( ) 2 [( ( )) ( )] f x e f x f x + ；
42x+y+2-年-0： 5.x(sec'x.x+tanx). 三.1.e 20+e25: 2.儿=-l=- 3.-x2sinx+10xcosx+20sinx;4.0 5.-dx. 四.a=2b=-1. 2af'(ax2+b)+4a'x2.f"(ax2+b). 六yy0-. (x+e')3 七.2g(a) 八.证明少-少少1 dk di ds dih-x (1) 其中鸟=4少1 dy I dyd 1 中品金-字家京*-京 (2) (3) 将(3)代入(2)得d$=y1+少x dir-7+i1-平· (4) 云函宁山·将空票代入聚方程 将(4)代入1)得=1+x dx dx2 相票+=0 B级自测题 -.1.B.2.D.3.C.4.D.5.D. 2.-2 3.-2xsin()sin:11 cos(x)sin 2
2 4. 2 2 0 4 x y + + − = ； 5. tan 2 tan (sec ln ) x x x x x x + ． 三．1. 2 2 (1 ) x x dy e dx x e = + ； 2. 0 1 x y = = − , 2 1 1 dy dx x = − ； 3. 2 − + + x x x x x sin 10 cos 20sin ； 4. 0 ； 5. −dx． 四． a b = = − 2 1． 五. 2 2 2 2 2 ( ) 4 ( ) af ax b a x f ax b + + + . 六.1. 1 y y y x e − = + , 3 ( 1)(2 3 ) ( ) y y y y x e ye y x e − + − = + . 七. 2 ( ) g a ． 八. 证明 2 1 1 dy dy dt dy dx dt dx dt x = = − ， 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 d y d dy d dy dt d dy dx dx dx dt dx dx dt dx x = = = − ， （1） 其中 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 d dy d dy d y dy d dt dx dt dt dt dt dt x x x = = + − − − ， （2） 其中 2 2 1 ( ) (sec ) sec tan 1 1 d d x t t t dt dt x x = = = − − ， （3） 将（3）代入（2）得 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 d dy d y dy x dt dx dt dt x x = + − − ． （4） 将（4）代入（1）得 2 2 2 2 2 2 3 1 1 (1 ) d y d y dy x dx dt x dt x = + − − ．将 dy dx ， 2 2 d y dx 代入原方程 得 2 2 2 0 d y a y dt + = ． B 级自测题 一．1. B． 2. D． 3. C． 4. D． 5. D． 二．1. 3 4 ； 2.-2； 3. 2 2 2 2 1 1 2 2 sin( )sin cos( )sin x x x x x x − − ；
4.3x-y-7=0: 5._sinx+e 2y+e 三.1.1：2.1：3.1+50+ e 4.1001-101, (5.n 四.a=2b=1,f)={2cs2xx20 2e2x≤0 五.少，0+的.六m. 2-20y 七店*方 八.证明：令y=1→fx1)=f(x)+f0→f)=0, 由/0=a→画f+-f0.a=四tA9=a, △x △r 当x≠0时， fx(+f(x)f(x)++)-f(x) Ar 之学学 X 所以了)-是 第三章微分中值定理与导数的应用 A级自测题 一填空题 1.2-1:←m0U0m:490:5.0. 二.选择题 3
3 4. 3 7 0 x y − − = ； 5. sin 2 x y x y x e y e + + + − + ． 三．1.1； 2. 1 dx e ； 3. (6 5)( 1) t t t + + ； 4. 101 101 1 100! 100! [ ] 3 ( 4) ( 1) x x − − − ； 5. 1 (2 ln ) 2 4 − ． 四． a b = = 2 1， 2 2 0 ( ) 2cos 2 0 x e x f x x x = ． 五. 2 2 ( )(1 ) 2 2 t y e t ty − + − . 六. 2 n ． 七. 3 3 3 1 2 1 ( ) 4 2 2 y x − = − + ． 八.证明：令 y f x f x f f = = + = 1 ( 1) ( ) (1) (1) 0 ， 由 0 0 (1 ) (1) (1 ) (1) lim lim x x f x f f x f a a a → → x x + − + = = = ， 当 x 0 时， 0 0 0 [ (1 )] ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) (1) lim lim lim x x x x x f x f x f x f f x f x f x x → → → x x x + − + + − + − = = 0 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 lim lim lim x x x x x x f f f x x x a x x x x x x x x → → → + + + = = = = ， 所以 ( ) a f x x = ． 第三章 微分中值定理与导数的应用 A 级自测题 一 填空题 1． 1 2 ； 2. −1 ； 3．( ,0) (0, ) − + ； 4． 80 9 ，0 ； 5．( 1,1) − ． 二．选择题
1.A,2.A,3.D,4.C,5.D 三计算题 1.1 2 2 3.e 4.单调递增区间：(-0,0U(2,+o),单调递减区间：(0,2)，极大值点x=0, 极小值点x=2,极大值f0)=0,极小值f(2)=-34 5.凸区间：(-o,2),凹区间：(2，+o),拐点：(2,2e2),最大值：e1. 四、设f(x)=x+x-1,则f(x)在区间[0,1上连续，且f0)f)=-1×1=-1<0, 由零点定理可知f(x)在(0，)上至少存在一个零点，即方程x+x-1=0至少有 一个正根.存在性获证.假设方程有两个正根x,x,不妨设x<x,则f(x)在 区间[x,x]上连续，在区间(x,x)内可导，f(x)=f(x)=0,由罗尔定理可知 至少存在一点5∈(：，x),使得f(5)=0,但f)=5x+1>0,(>0)矛盾，所 以假设不成立，唯一性获证.从而命题得证. 五.设F(x)=fx)-x,则F(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，又F(2)=-2<0, FI)=1>0,由零点定理可知，至少存在一点n∈(L,2),使得F()=0,由罗尔 定理可知至少存在一点5∈(0，)，使得F'(5)=0,即∫(5)=1，从而 5∈(0，)c(0,2),从而可知至少存在一点5∈(0,2)，使f'(5)=1. 六.提示：对函数f(x)=arctanx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理即可证. 七.r= 一π十4通过的光线最充足。 +4h 八.1)边际成本C)=3+.(2)边际效益R)=0.(3)边际利润： - 50 -x-3.(4)收益的价格弹性： 器号 ,x50x
4 1．A， 2.A， 3．D， 4．C， 5．D 三 计算题 1． 1 2 ． 2. 1 2 ． 3． 2 e − ． 4．单调递增区间： ( ,0) (2, ) − + ，单调递减区间： (0,2) ，极大值点 x = 0 ， 极小值点 x = 2 ，极大值 f (0) 0 = ，极小值 3 f (2) 3 4 = − ． 5．凸区间： ( , 2) − ，凹区间： (2, ) + ，拐点： 2 (2,2 ) e − ，最大值： 1 e − ． 四、设 5 f (x) = x + −x 1 ，则 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续，且 f f (0) (1) = − = − 1 1 1 0 ， 由零点定理可知 f x( ) 在 (0,1) 上至少存在一个零点，即方程 5 x x + − =1 0 至少有 一个正根．存在性获证．假设方程有两个正根 1 2 x x, ，不妨设 1 2 x x ，则 f x( ) 在 区间 1 2 [ , ] x x 上连续，在区间 1 2 ( , ) x x 内可导， 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ，由罗尔定理可知 至少存在一点 1 2 ( , ) x x ，使得 f ( ) 0 = ，但 4 f x ( ) 5 = x x + 1 0,( 0) 矛盾，所 以假设不成立，唯一性获证．从而命题得证． 五．设 F x f x x ( ) ( ) = − ，则 F x( ) 在 [0, 2] 上连续，在 (0,2) 内可导，又 F(2) 2 0 = − ， F(1) 1 0 = ，由零点定理可知，至少存在一点 (1, 2) ，使得 F( ) 0 = ，由罗尓 定 理 可 知 至 少 存 在 一 点 (0, ) ，使得 F( ) 0 = ， 即 f ( ) 1 = ，从而 (0, ) (0,2) ，从而可知至少存在一点 (0,2) , 使 f ( ) 1 = ． 六．提示：对函数 f x x ( ) arctan = 在 [ , ] a b 上应用拉格朗日中值定理即可证． 七． , 4 4 l l r h = = + + ,通过的光线最充足． 八．（1）边际成本 C x x ( ) 3 = + ． （2）边际效益 50 R x( ) x = ．（3）边际利润： 50 L x x ( ) 3 x = − − ．（4）收益的价格弹性: 50 1 ( ) ( ) 2 100 ER x x R x EP R x x x = = = ．
B级自测题 一填空题 12. 3.-m+)4.（二2,26 5.b2. 二.选择题 1.B. 2.A. 3.D.4.C.5.A. 三.1.1. 2. 4 3.单调增加区间(-0,1)和(3，+∞)，单调减少区间(1,3)，(-0,0)是凸的，(0,1) L+∞)是凹的，极小值1。二名，拐点0,0，铅直渐近线：x=1,斜 线：y=x+2. 4.1.5.e°. 四 五.证明：令(x)=(x2-)lnx-(x-1)2,只需证明x>0时0x)≥0. 易知p)=0,px)=2xlnx-x+2-1, p0=0,由于)的符号不易判断。 故进一步考虑p=2hx1+宁：p0=2>0,p=2-》,当 x3 0<x<1时，p(x)<0:当1<x<+0时，p"(x)>0,由此可见0")=2为p"(x) 的极小值.p"(x)≥2>0，这样，x>0时，p'(x)单调增加，又因为0')=0， 所以0<x<1时，o'(x)<0;1<x<+0时，o(x)>0,再由o1)=0可知 0<x<1时，(x)>0:1<x<+时，p(x)>0,这样证明了x>0时， p(x)20. 六·证明(1)令(x)=f(x)-x,显然它在0，】上连续，又因为
5 B 级自测题 一填空题 1． 2 4 − ． 2． 2 e ． 3．− + ( 1) n ． 4． 2 2 ( , ) 2 2 − ． 5． 2 b ． 二．选择题 1．B ． 2.A ． 3.D． 4.C． 5.A． 三．1．1． 2． 2 4 ． 3． 单调增加区间 ( ,1) − 和 (3, ) + , 单调减少区间 (1,3) ，( ,0) − 是凸的, (0,1) 和 (1, ) + 是凹的，极小值 3 27 4 x y = = , 拐点 (0,0) , 铅直渐近线: x =1 , 斜渐近 线: y x = + 2 ． 4．1． 5． e e ． 四． 1 2 ． 五.证明:令 2 2 ( ) ( 1)ln ( 1) x x x x = − − − ,只需证明 x 0 时 ( ) 0 x ． 易知 (1) 0 = , 1 ( ) 2 ln 2 x x x x x = − + − ，(1) 0 = ，由于 ( ) x 的符号不易判断, 故进一步考虑 2 1 ( ) 2ln 1 x x x = + + ； (1) 2 0 = , 2 3 2( 1) ( ) x x x − = , 当 0 1 x 时, ( ) 0 x ；当 1 + x 时, ( ) 0 x , 由此可见 (1) 2 = 为 ( ) x 的极小值. ( ) 2 0 x , 这样, x 0 时, ( ) x 单调增加,又因为 (1) 0 = , 所 以 0 1 x 时 , ( ) 0 x ; 1 + x 时 , ( ) 0 x , 再 由 (1) 0 = 可 知 0 1 x 时 , ( ) 0 x ; 1 + x 时 , ( ) 0 x , 这样证明了 x 0 时 , ( ) 0 x . 六．证明 (1) 令 = − ( ) ( ) x f x x , 显然它在 [0,1] 上连续 , 又 因 为