《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第二章 解析函数 2.1 第一节 解析函数的概念

复变函数AyAff(z +△z)-f(z)lim= 0,limlim?AzAr-→0 Ax + iAyAz->0 △zAz-→>0Ay=0当点沿平行于虚轴的方向(△xr=0)而使△z→0时AyAff(z +△z)- f(z)limlimlimiAzAy-0Ax + iAyAz-0 △zz-→0Ar=0当点沿不同的方向使△z→0时,极限值不同故f(z)=Im z在复平面上处处不可导U

6 z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0 =  +   =  =  → x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方向(x = 0)而使z → 0时, z f z z f z z f z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y =  +   =  =  → 当点沿不同的方向使z → 0时,极限值不同, 故f (z) =Im z在复平面上处处不可导

复变函数例3问f(z)=x+2yi是否可导？Aff(z + △z) - f(z)解limlim-AzAzAz0△z->0(x + △x)+2(y + △y)i - x - 2yilim/AzAz->01yAr + 2AyiAy = 0lim=NAz-o Ax +Ayi+x0设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z，u

7 例3 问f (z) = x + 2 yi是否可导？ z f z z f z zf z z  +  − =   →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z  +  + +  − − =  → ( ) 2( ) 2 lim0 x yi x yi z  +   +  =  → 2 lim0 设z + z沿着平行于x 轴的直线趋向于z，x y o  z y = 0

复变函数AxAx + 2Ayilimlim1-Az-0 △x + △yiAr-→>0 △x设z+△z沿着平行于轴的直线趋向于z，Ax=0Ax + 2Ayi2Ayilimlim= 2,tyAz-0Ax + AyiAyiAy-→0Ay = 0Z所以f(z)=x+2yi的导数+xC不存在U

8 x y o  z y = 0 x yi x yi z  +   +   → 2 lim 0 lim 1, 0 =   =  → x x x 设z + z沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， x = 0 x yi x yi z  +   +   → 2 lim 0 2, 2 lim 0 =   =  → yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z) = x + 2 yi

复变函数2.可导与连续：函数f（）在Z处可导则在处一定连续，但函数）在处连续不一定在Z处可导证根据在Z可导的定义V>0,3>0,使得当0时(Zo + Az)-(z0) - F'(zo) <8,有AzF(o +Az)- f(zo) - F(zo)令 p(z) = Azu

9 2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 , 根据在z0 可导的定义   0,   0, 使得当0 | z |  时, ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 −     +  − f z z f z z f z 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z −   +  − 令   =

复变函数则lim p(△z) = 0,Az-0因为 f(zo +z) - f(zo) = f(zo)△z + p(△z)△z所以lim f(zo + △z) = f(zo),Az-0即f(z)在Zo 连续[证毕]u

10 lim ( ) 0, 0  =  → z z 则  ( ) ( ) 0 0 因为 f z + z − f z lim ( ) ( ), 0 0 0 f z z f z z +  =  → 所以( ) . 即f z 在 z0 连续 [证毕] ( ) ( ) , 0 = f  z z +  z z