线性代数 第二章我新尔我桃川博例5已知向量组α,α,α,线性无关，β=α+αβ=αz+α,β=α+α，试证β,β,β,线性无关证：设有k,k,,k,使k,β, +k,β, +ksβ, = 0即 k(α, +α,)+k,(α, +α,)+k,(α +α)=0,亦即 ( k, +k,)α, +(k, +k,)α, +(k, +kg)α, =0,因α，α2，α,线性无关，故有k, +k,=0,k, +k, = 0,k, +k, = 0
线性代数 第二章 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , 0 k k k k k k + + = 设有 使 1 1 2 2 2 3 3 3 1 即 ( ) ( ) 0, k k k （ + + + + + = ） 1 3 1 1 2 2 2 3 3 亦即 ) ( ) ( ) 0, （k k k k k k + + + + + = 因1， 2， 3线性无关，故有 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. k k k k k k + = + = + = 证: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 , , , , = + = + = + 1 2 3 例5 已知向量组 线性无关， ， ，试证 线性无关
线性代数 第二章新尔我桃川科由于此方程组k, +k, =0,k, +k, =0,k, +k, = 0.的系数行列式001=2±0故方程组只有零解k,=k,=k,=0，所以向量组β1,βz,β,线性无关
线性代数 第二章 1 3 1 2 2 3 0, 0, 0. 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 k k k k k k + = + = + = = 由于此方程组 的系数行列式 1 2 3 1 2 3 0 , , . k k k 故方程组只有零解 === ，所以 向量组 线性无关
线性代数 第二章证明例6已知α,α,α,线性无关我前尔桃川科1线性相关α1 -α2, α2 +2α3α3 +=α2证明设存在数,2,使得即已知1α,α2,α线性无关，只有-211101+=x=0Xi2201=010A=1-12=0-Xi+X21022102x2 +x = 0故向量组线性相关X1,X2,X3不全为零
线性代数 第二章 例6 证明 ( ) (2 ) 0 2 1 1 3 1 + 2 − 1 2 + 2 + 3 3 = x + x x x x x , 1 − 2 已知 证明 1 2 3 , , 线性无关， 线性相关. ( ) ( ) 0 2 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 1 = x − + x + + x + 设存在数 已知 1 , 2 , 3 线性无关，只有 1 3 1 2 2 3 1 0 2 0 2 0 x x x x x x + = − + = + = 1 2 3 x , x , x 0 2 1 1 1 0 2 1 1 0 A = − 2 3 3 1 1 2 , 2 + + 0 2 1 2 1 0 1 2 1 1 0 = = 0 使得 即 1 2 3 x , x , x 不全为零，故向量组线性相关
线性代数 第二章我尔我桃川例7设r维向量组α,=(a1,ai2..a),i=1,2,…,m及r+1维向量组α, =(ai1ai2...air,ai+1),i=1,2,..,m.即α;是由α,加一个分量而得若r维向量组α,αz……αm线性无关证明自学，记住结论。试证r+1维向量组α",α,…..α"线性无关即：无关组添加分量仍无关注：n维向量组α,α2，,αm线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。即：相关组减少分量仍相关
线性代数 第二章 1 2 1 2 , 1 1 2 1 2 7 ( , , , ), 1, 2, , 1 ( , , , , ), 1, 2, , . . , , , 1 , , , . i i i ir i i i ir i r i i m m r a a a i m r a a a a i m r r + = = + = = + 例 设 维向量组 及 维向量组 即 是由 加一个分量而得 若 维向量组 线性无关， 试证 维向量组 线性无关 即:无关组添加分量仍无关 注： n维向量组 1 2 , , , m 线性相关， 把每个向量的维数减少后，得到的新向量组 仍线性相关。 即:相关组减少分量仍相关 证明自学，记住结论