例1.设R={全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x田y=Xy,kox=x 证明：R是实数域R上的线性空间。 [证明]首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x>0,y>0,k∈R,则有 x田y=y∈R,kox=x“∈R封闭性得证。 ②八条性质 (1)x田(y田z)=x(Uz)=(xy)z=(x田y)田z[结合律] 6
例1．设R+ ={全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y xy = , k kx x = 证明：R+ 是实数域R上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性 唯一性显然 若x > 0, y > 0, k R ∈ ，则有 x y xy R+ = ∈ ， k kx x R+ = ∈ 封闭性得证。 ②八条性质 （1） x ( y z x yz xy z x ) ()() ( = = = y) z [结合律] 6
(2)xEy=Xy=x=y田x [交换律] (3)1是零元素x田l=x.1=x [零元律] [x0=x→x0=x→O=1] (4)是x的负元素x知=x·=1 [负元律] (5)ko(xmy)=(xy)=xy=(kox)(koy) [数因子分配律] (6)(k+1)ox=x+=xx=(kox)(1ox) [分配律] (7)ko(1ox)=(x)*=x=(kl)ox [结合律] (8)1ox=x=x [恒等律] 由此可证，R是实数域R上的线性空间。 7
（2） x y xy yx y = = = x [交换律] （3） 1 是零元素 x 1 1 = ⋅= x x [零元律] [ x O x xO x O =→ =→ =1] （4） 1 x 是x的负元素 x 1 1 x 1 x x =⋅ = [负元律] （5）k x ( )() ( ) k kk y xy x y k x = = = ( ) k y [数因子分配律] （6） ( ) ( ) kl k l k l x x xx k x + + == = ( ) l x [分配律] （7） ( ) () () l k kl k l x x x kl x = = = [结合律] （8） 1 1 xx x = = [恒等律] 由此可证， R+ 是实数域R上的线性空间。 7
2.定理：线性空间具有如下性质 (1)零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 (2)如下恒等式成立：0x=O,(-1)x=(-x)。 [证明](1)采用反证法： ①零元素是唯一的。设存在两个零元素O和O2,则由于O和 O,均为零元素，按零元律有 [交换律] 01+02=01=02+01=02 所以 01=02 即O和O,相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 8
2．定理：线性空间具有如下性质 （1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2）如下恒等式成立： 0x O= ，( 1) ( ) − =− x x 。 [证明]（1）采用反证法： ①零元素是唯一的。设存在两个零元素O1和O2，则由于O1和 O2均为零元素， 按零元律有 [交换律] OO OOOO 121 21 2 +==+= 所以 O O 1 2 = 即O1和O2相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 8