级数α,α,=a,+ib,收敛a,和b都收敛。定理2n=n=7=0性质Y复数项级数收敛的必要条件：limα，=0。α..n=10证明：a,收敛→ limα,=0 (因为是实数)n->n=1Zα,收敛80n=lZb,收敛→ lim b,=0n->00(n=)而α=a.+ib,=limα,=0n00注意：反过来逆命题不成立。即limα,趋于0，则级数α,不一定收敛n=l-i，但级数-(1+=)不收敛例如：α..nnnnnn=]注意：而逆否命题成立。即limα,不趋于0，则级数α，不收敛n=11
- 11 - 1 : lim 0 n n n n 性质 复数项级数 收敛的必要条件 。 lim 0 nn n n n a ib 而 ＝ 证明: 注意：反过来逆命题不成立。 1 1 (1 ) n i n n 但级数 不收敛 2 1 11 = (1 ) n i i n nnn 例如： = ， 1 1 1 lim 0 lim 0 n n n n n n n n n n a a b b 收敛 收敛 收敛 注意：而逆否命题成立。 1 lim 0 n n n n 即 不趋于 ，则级数 不收敛 1 lim 0 n n n n 即 趋于 ，则级数 不一定收敛 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 定理2 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。 (因为是实数)
性质定理2复数项级数≥α,收敛的必要条件：limα,=0。级数之α,(α,=a,+ib,收敛a,和b都收敛1=O定理3若α|收敛=α,收敛，且Zαn≤lann=ln=1n=ln=1证明=an+ib,=a,+b,a,≤a,+b,,b,≤a,+b：Zlα,收敛，lim|α,=lima，+b,=0。而因为an，b,是实数，开根号在无穷时趋于0，则lallb在无穷时趋于0由实变函数中正项级数的比较判定法，可知a,和b,哟收敛。=因而a,和b,均收敛，所以由定理2得α,收敛。:2α≤Zα|= lim2α≤limZ[αl :α,≤Z[α,ln→00n→ok=lk=lk=ln=l有限项成立，则无限项也成立12-
- 12 - 定理3 1 1 11 n n nn n n nn 若 收敛 收敛，且 证明 22 22 22 ; , n n n n n n n nn n n a ib a b a a b b a b 1 1 11 1 2 n n n n nn n nn n a b a b 由实变函数中正项级数的比较判定法，可知 和 均收敛。 因而 和 均收敛，所以由定理 得 收敛。 11 1 1 11 lim lim , nn n n kk k k nn n n kk k k nn 2 2 1 | | , lim | | lim 0 n n nn n n n a b 收敛 。 而因为an，bn是实数, 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。 定理2 1 : lim 0 n n n n 复数项级数 收敛的必要条件 。 性质 有限项成立，则无限项也成立 开根号在无穷时趋于0，则|an|, |bn|在无穷时趋于0
由定理3的证明过程，及不等式Va,+b,≤anl+b,有：定理4级数|αn收敛Zan|和b,|都收敛。n=1n=ln=1？α,|收敛。(例如:≥-1"收敛),Z乡源α,收敛nXn=ln=1但取模不收敛。正负号交替的交错级数是收敛的：定义1/n级数是调和级数，发散的Yα，为绝对收敛;若α,|收敛，则称n=1n=l若α，l发散，而α,收敛，则称α，为条件收敛n=1n=ln=l-13 -
- 13 - 1 1 n n n n 收敛 收敛。 ? 1 ( 1) ( ), n n i n 例如： 收敛 但取模不收敛。 由定理3的证明过程，及不等式 2 2 nn n n ab a b 有: 定理4 1 11 n nn n nn a b 级数 收敛 和 都收敛。 定义 1 1 11 1 . n n n n nn n nn n 若 收敛，则称 为 ； 若 发散，而 收敛，则 绝对收敛 称 为条件收敛 ╳ 正负号交替的交错级数是收敛的； 1/n级数是调和级数，发散的
级数α,(α=a,+ib,收敛a,和b.都收敛。定理2例2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？(8i)(3) Z(-1)()2=(1+) (2)2n!nnn=l nn=0n=l1/n级数是调和级数，是发散的解(1)：≥1),收敛，-(1+-)发散7发散，1/n?级数是二级pnnn=i nn=1n=1级数，是收敛的8il8ns(8i)n?2V绝对收敛。收敛，即取模收敛，(2) :n!n!n!n=0=0n=0此处：Un+/U,=8/(n+1)这里(2)用到正项级数比值审敛法：U，为正项级数，其中每一项皆为非0实数，lim7+pUnn->00n=l则：当p<1时级数收敛；当p>1时级数发散；当p=1时级数可能收敛也可能发散14
- 14 - 解 00 0 8 8 (8 ) (2) !! ! n n n nn n i i nn n 收敛，即取模收敛， 绝对收敛。 例2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ 1 01 1 (8 ) ( 1) (1) (1 ) (2) (3) ( ) ! 2 n n n n nn ii i nn n n 2 11 1 11 1 (1) (1 ) . nn n i n n nn 发散， 收敛， 发散 这里(2)用到正项级数比值审敛法： 1 1 lim n n n n n U U U 为正项级数，其中每一项皆为非0实数， 则：当ρ<1时级数收敛；当ρ>1时级数发散； 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散 此处：Un+1/Un=8/(n+1) 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 定理2 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。 1/n级数是调和 级数，是发散的 1/n2级数是二级p 级数，是收敛的
a-1)"(3) 2nn=l80(-1)"(-1)"收敛，收敛,:之A收敛一n=1 2"2nnn=ln=l((-1)"1又：()条件收敛，原级数非绝对收敛。2nn=1(-1)"1=1一之一发散，：级数取模不收敛：取模+>on2″nY故原级数非绝对收敛15
- 15 - 1 11 ( 1) 1 ( 1) ( ). 2 2 n n n n n nn i n n 收敛， 收敛， 收敛 1 ( 1) ( ) 2 n n n i n 又 条件收敛， 原级数非绝对收敛。 2 2 1 ( 1) 1 1 1 1 , 2 2 n n n n i n n nn 取 模 发散， 级数取模不收敛 故原级数非绝对收敛 1 ( 1) (3) ( ) 2 n n n i n