复数列(α(n=1,2,)收敛于复数α=a+ib liman=a,limb, =b。n→8“一充分性”已知lima,=a,limb,=b，即，n-8n→000V>0,3N>0,当n>N时,恒有a,-α号,,-<又|αn -α|= [(an -a)+i(bn -b)[≤|an -a +bn -b<故limα,=α.orn浪(1)定理回答了复数列极限存在的条件；(2)解决了复数列极限的计算方法；(3)把复数列的敛散性问题的研究转化为实数列的敛散性问题的研究，这是复变函数中非常重要的思想方法
-6- lim , lim 0, 0, , 2 2 ( )( ) lim . n n n n n n n n n nn n n aa bb N nN a a b b a a ib b a a b b “ 充分性”已知 ，即， 当 时 恒有 ， 又 故 (1)定理回答了复数列极限存在的条件； (2)解决了复数列极限的计算方法； (3)把复数列的敛散性问题的研究转化为实数列的敛散 性问题的研究，这是复变函数中非常重要的思想方法。 ( 1, 2,.) = lim , lim n n n n n n a ib aa bb 复数列 收敛于复数
例1判别下列复数列是否收敛，如收敛，求出极限。(I)α,=(1+二)e*;(2)a,=ncosineio =coso+isingn元元解 (1)lim α, = lim(1+-)e n = lim(1+-)(cos=+isin=n>0nn2n实部的极限为1，虚部的极限是0：复数列收敛，极限是1e" +e"n(2)lim α, = lim n cos in = lim n82n->0n>0n>00第一项极限为8，第二项极限是0：复数列不收敛，极限不存在ei-e-ie"+e-sinzCOSZ2i2
-7- 例1 解 判别下列复数列是否收敛，如收敛，求出极限。 1 1 (1) lim lim (1 ) lim (1 )(cos sin ) i n n nn n e i n nn n 实部的极限为1，虚部的极限是0 1 (1) =(1 ) ;(2) = cos i n n n e n in n 复数列收敛，极限是1 (2) lim = lim cos lim 2 n n n nn n e e n in n 复数列不收敛，极限不存在 第一项极限为 ，第二项极限是0 sin cos 2 2 zi zi zi zi ee ee z z i cos sin i e i
2. 复数项级数的概念定义设复数列：(α,}={a,+ib,)(n=1,2,.),称α,=α+α+…+α…--复数项无穷级数n=1级数的前面n项的和S, = af +α + ..+α, = Zα,--级数的部分和i=l8收敛则级数cα,称为收敛n=l且lims,=s称为级数的和若部分和数列(s,)n-→0080不收敛一则级数α,称为发散n=l-8-
-8- 2. 复数项级数的概念 1 2 1 n n + n 1 2 1 + n n ni i s 级数的前面 n项的和 -级数的部分和 lim n n s s 且 称为级数的和 1 n n － 则级数 称为收敛 1 n n － 则级数 称为发散 -复数项无穷级数 定义 {}{ } ( 1,2, ), n nn 设复数列： a ib n { }n s 收 敛 若部分和数列 不 收 敛 称
复数列α(n=12）收敛于复数α=a+ibliman=a,lim b, = bo定理1n-→o0读音sigma定理2（级数收敛的充要条件）t读音tau88080级数Za,和Zb.都收敛。α,(α,=a,+ib,)收敛n=ln=ln=l: S, =α =(a +ibr)=at +ibe =0, +it,证明：k=1k=1k=1k=1:级数收敛，由定理1,lims,=a+ib←limo，=a,limt，=bnn>0n将部分和数列s.看成定理1中的a,和b,都收敛。复数列（α），利用定理1n=1n=1由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题
-9- 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。 定理2 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。 11 11 ( ) nn nn n k kk k k nn kk kk s a ib a i b i 证明: (级数收敛的充要条件) ( 1, 2,.) = lim , lim n n n n n n a ib aa bb 复数列 收敛于复数 。 lim lim ,lim n nn n nn s a ib a b 级数收敛，由定理1， 1 1 n n n n a b 和 都收敛。 定理1 将部分和数列{sn}看成定理1中的 复数列{αn}，利用定理1 σ 读音sigma τ 读音tau
级数α,(α,=a,+ib,收敛a,和b,都收敛。定理2n=I783i$, - a, + +a, - ZαZ的敛散性。例1判别级数2nn=13in1O>又lims,=3i解：s,313i(1二2jPn>00j=1.级数收敛，且和为3i。例级数≥-(1+")是否收敛?nn=l n11/n级数是调和级数，是发散的解α.1/n级数是二级p级数，是收敛的nnnn11(1+)发散发散，Z收敛，级数1nnnn=l nn=1n=1-10-
- 10 - 例1 解 1 3 2n n i 判别级数 的敛散性。 1 1 311 3 3 (1 ), lim 3 22 2 n n n n jjn n j j i s i i si 又 级数收敛，且和为 3i。 1 1 (1 ) n i n n 例 级数 是否收敛？ 2 1 11 = (1 ) n i i n nnn 解 = 2 11 1 11 1 . nn n i n n nn 发散， 收敛， 级数 (1+ )发散 1/n级数是调和级数，是发散的 1/n2级数是二级p级数，是收敛的 1 2 1 + n n ni i s 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 定理2 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。