U.0nn+1正项级数比值审敛法，lim=P例3讨论的敛散性。Un->00n=o n!or-2岁解 令=r,即级数取模收敛n!n=0此处：Un+7/U,=r(n+1)00n1.级数Z绝对收敛。n!n=0元81例：讨论≥1+的敛散性。ennn=l1元元解ZJe"-2+-+isinCOSnnnn一般项的实部α极限为1，不趋于零，：级数发散复数项级数了α，收敛的必要条件：limα,=0。limα,不趋于0,则α不收敛n=1
- 16 - 例3 0 ! n n z n 讨论 的敛散性。 解 0 0 0 , ! ! ! n n n n n n z r z r n n z n 令 ，即级数取模收敛 级数 绝对收敛。 例： 1 1 1 i n n e n 讨论 的敛散性。 解 1 1 1 1 1 = 1 cos sin i n n n e i n nnn n 一般项的实部 极限为1,不趋于零， 级数发散 a 1 lim n n n U U 正项级数比值审敛法, 1 : lim 0 n n n n 复数项级数 收敛的必要条件 。 1 lim 0 n n n n 不趋于 ，则 不收敛 此处：Un+1/Un=r/(n+1)
级数α,α,=a,+ib,收敛a,和b都收敛定理2 e-e"ei+e-i00cosinsinzCOSzZ例：讨论的敛散性。2i22ne"+e-nn=0cosin200+ecosin解OZ2+2222"2Pn=0n=02-0e2(UZ(S))"发散，)-"收敛，故级数发散一2n=0n=0-17
- 17 - 例： 0 cos 2n n in 讨论 的敛散性。 cos 2 n n e e in 00 0 0 cos 1 1 1 = ( ) () () 2 2 2 22 22 n n n n n n nn n n in e e e e 解 0 0 1 1 () () 22 22 n n n n e e 发散， 收敛，故级数发散 sin cos 2 2 zi zi zi zi ee ee z z i 1 11 ( ) nn n n n n n nn a ib a b 定理2 级数 ＝ 收敛 和 都收敛。
例：证明复数项等比级数α"，当α<1时，绝对收敛，n=0其和为当|α|≥1时，发散。1-α1-αn设α=re"0,s,=αk证明：i（等比级数前n项和)1-αk=0r<10.lim α"= lim r"eino = lim r" (cos nO + isin n)不存在 r≥1n-0n-→>0n-00故α"收敛且绝对收敛当α<1时，级数α"收敛，n=0n=0U1-α"1n+1：正项级数比值审敛法，lim0=α>,α" =lim s, = lim-0Un1-αn>0n->001-αn=080r<l，ran极限是0，cosne有界，sinne有界，极限是0当α≥1时,α"发散=l，cosno是振荡的，sinno是振荡的，极限不存在r>1，ran趋于无穷，cosne有界，sinne有界，极限不存在n=0
- 18 - 例： 0 1 1 n n 证明复数项等比级数 ,当 <1时，绝对收敛， 其和为 ；当 1时，发散。 证明： 1 0 1 =, ( ) 1 n n i k n k re s n 设 等比级数前 项和 0, lim = lim lim (cos sin ) n n in n nn n re r n i n 不存在 1 1 r r 0 0 n n n n 当 <1时，级数 收敛，故 收敛且绝对收敛 0 1 1 = lim lim 1 1 n n n n n n s 0 n n 当 1 时， 发散 1 lim =| | n n n U U 正项级数比值审敛法, r<1，r^n极限是0，cosnθ有界，sinnθ有界，极限是0 r=1，cosnθ是振荡的，sinnθ是振荡的，极限不存在 r>1，r^n趋于无穷，cosnθ有界，sinnθ有界，极限不存在
第4章级数S 4. 1复数项级数mS 4. 2幂级数mS 4. 3泰勒级数$ 4. 4洛朗级数19
- 19 - §4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数 第4章 级数
$ 4. 2幂级数1.幂级数的概念m2.收敛定理中3.收敛圆与收敛半径m4.收敛半径的求法m5.幂级数的运算和性质中20
- 20 - 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 §4.2 幂级数