secx,sin?2x1tanxlim-lim解：lim+-号-2csc*2x-号cot2x三2r-号cosx 4sin 2xcos2× = 2 lim cos2x = -2lim±-2cosxsinx2x-=087注：@一一及二型不定式在使用洛必达法则后，可能相互转化；08②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。x"erlim例6.求极限lim++00* (In x)-eretOp.00lim解：limlimlim+8t-+o n(n - 1)xra-200X->0o mx -11-→400 xx→+n!hyn-1n'x"-lx"nxslima0=limlim= lim-o n(ln x)n-1+++o n(In x)y-I.1X-0 (In x)"x-→+o n(n -1)(ln x)"-2 . 1n'x"= lim-++ n(n-1)(ln x)~-2n"-lx"n"x"=...= limlim=+00x-→+on(n-1)...2(lnx) x→** n(n -1)..2.1当x→+oo时，e，x"，(lnx)"均趋向于+o0。这一结论表明，e→+oo的速度最快，x"→+o0次之，(lnx）"→+o0速度最慢。二、其他类型的不定式的极限0.0，00-80，0%，0°及1”型80以上各种类型的不定式，均可以转化为一型，然后用洛必达法则求解。成801.0.80型（积的不定式）例7.求极限limx"lnx，（μ>0）。（0.00型）x→0*Ix11Inx1解：limx"Inxlim00limlimlim x"=0X-0"-x--1 x-0* -H0*-I-→0*μx→0*例8.求极限limxe（0.00型）TOetererlim x-e* = lim = lim= lim解：=+80X→+30x2X→+02xX→+2X-→+o83
83 解： ∞ ∞ → x x x cot 2 tan lim 2 π x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 lim 2 1 2csc 2 sec limπ π → → = − − 2 lim cos 2 2 2cos sin 4sin 2 cos 2 lim 2 1 2 2 0 0 = = − − − → → x x x x x x x π π 注：① ∞ ∞ 及 0 0 型不定式在使用洛必达法则后，可能相互转化； ②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。 例 6．求极限 n x x x e →+∞ lim ， ( )n n x x x ln lim →+∞ 。 解： n x x x e →+∞ lim 1 lim − →+∞ ∞ ∞ n x x nx e ( ) = = = +∞ − →+∞ ∞ ∞ − →+∞ ∞ ∞ ! lim 1 lim 2 n e n n x e x x n x x " ( )n n x x x ln lim →+∞ ( ) ( ) 1 1 1 1 ln lim ln lim − →+∞ − − →+∞ ∞ ∞ = ⋅ n n x x n n x n x nx n x nx ( )( ) x n n x n n x n x 1 2 2 1 1 ln lim − ⋅ − − →+∞ ∞ ∞ ( )( ) 2 2 1 ln lim − →+∞ − = n n x n n x n x ( )() ( ) = +∞ − − ⋅ = = →+∞ ∞ ∞ − →+∞ 1 2 1 lim 1 2 ln lim 1 " " " n n n x n n x n x n n x n n x 当 x → +∞ 时， x e ， n x ，( )n ln x 均趋向于 + ∞ 。这一结论表明， → +∞ x e 的速度最快， → +∞ n x 次之，( ) → +∞ n ln x 速度最慢。 二、其他类型的不定式的极限 0 ⋅ ∞ ，∞ − ∞ ， 0 0 ， 0 ∞ 及 ∞1 型 以上各种类型的不定式，均可以转化为 ∞ ∞ 或 0 0 型，然后用洛必达法则求解。 1．0 ⋅ ∞ 型（积的不定式） 例 7．求极限 x x x lim ln 0 μ → + ，（ μ > 0）。（0 ⋅∞ 型） 解： x x x lim ln 0 μ → + ∞ ∞ − → + μ x x x ln lim 0 lim 0 1 1 lim 1 lim 0 0 1 1 0 = − = − = − → + − − → + − → + μ μ μ μ μ μ x x x x x x x 例 8．求极限 2 lim x x x e − →+∞ （0 ⋅∞ 型） 解： 2 lim x x x e − →+∞ 2 lim x x e →+∞ x = lim 2 x x e →+∞ x = lim 2 x x e →+∞ = = +∞
例9.求极限lime'In(arctanx）（0.co型）In(carctanx)[In+ In(arctan x)]解: lim eln(sarctanx)= lim 0lim0e-r(e-*)X-→++ox→+o→+012er0 lim acnx lim=+00元→+1+2-e~rX>+00ee'注：limxe/x0.lim=1 limlimet=+80KX-→0*YO1-→+oo11/1x%lim但是如果：lim xe/x0.00lim=limxe不难看出，上0VX>0*X→0*X->0*X-→0xe.+e:面做法不可取。2.0-80型（差的不定式）sin’xtan x例10.求极限lim80-80型）x4xrs解sinxtanxsin'x-xtanxlim00colimx44x3x→02sinxcosxtanx+xsecx-% lim4x3x->0sinxtanxsinx-xtanxtanxsinxcosx-x0liml00-0olimlim0x4xx4x3x→0x-→0x-→0xcos?x-sin?x-1tanxsinxcosx-xsinxcosx-x.lim% lim% lim= lim%x-004333x2xX>0x->02sin°x21- cos2xα-lim-lim3x23x23x→0x→011(8-8型）例11.求极限lim(x>0sin.xx1-1-cosxsinxx-sinx=lim=lim= lim解：lim(=0x-0 sinxX-0x-sinxx→osin.x+xcosxx-ocosx+cosx-xsinx84
84 例 9．求极限 e ( ) x x x lim ln arctan 2 π →+∞ （0 ⋅∞ 型） 解： e ( ) x x x lim ln arctan 2 π →+∞ ( ) x x e x − →+∞ = ln arctan lim 2 π ( ) ( ) [ln ln arctan ] lim 2 0 0 ′ + ′ − →+∞ x x e x π x x x x e− + →+∞ − ⋅ 2 1 1 arctan 1 0 0 lim = +∞ + = − →+∞ 2 1 lim 2 x ex π x 注： x x xe 1 0 lim → + ⋅∞ = = +∞ →+∞ ∞ ∞ → + →+∞ t t t t x x x x e t e t e 0 lim 1 lim lim 1 1 0 但是如果： x x x x x x x x x x e e e x xe 1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 lim 1 lim 0 lim lim 2 + + + → + → → − → − = ⋅ ⋅∞ ，不难看出，上 面做法不 可取。 2．∞ − ∞ 型（差的不定式） 例 10．求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 4 3 2 0 sin tan lim x x x x x 。（∞ − ∞ 型） 解 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 4 3 2 0 sin tan lim x x x x x 4 2 0 sin tan lim x x x x x − ∞ − ∞ → ( ) =" − + → 3 2 0 0 0 4 2sin cos tan sec lim x x x x x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → 4 3 2 0 sin tan lim x x x x x 0 0 4 2 0 sin tan lim x x x x x − ∞ − ∞ → 3 0 tan sin cos lim x x x x x x x − ⋅ → 2 2 2 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 3 cos sin 1 lim sin cos lim sin cos lim tan lim x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − = ⋅ → → → → 3 2 3 2sin lim 3 1 cos 2 lim 2 2 0 2 0 0 0 = − = − − − → → x x x x x x 例 11．求极限 0 1 1 lim( ) x→ sin x x − （∞ − ∞ 型） 解： 0 1 1 lim( ) x→ sin x x − 0 sin limx sin x x → x x − = ⋅ 0 1 cos lim sin cos x x → x x x − = + 0 sin limx cos cos sin x → x xx x = + − = 0
3.0%，°及1°型（幂指函数的不定式）1例12．求极限limxn(e"-)）（0°）x->011解：令y=x(--)则Iny:InxIn(e2* - 1)-e2r_Inx2x-1= lim= lim= limlim In y= lim=1102x-→0° In(e2+ -1)-0° 2xe?xx-0*2xerx-→0*e2x1所以 lim (--) = lim elny =eX-→0*X→0例13.求极限limx（0)x->0lim Inxlim xhax100+X0*lim x' = lim erinx=e=l解：=ex=e=ex→0*x→0*a-a例14.求极限lim(（1°型）n/Vai.x+as+a+aT解：令：则，Iny=nxlnnnV)-lnnIn(a/+.+as+alim In y = nlim xIn() =nlimn0oIn(a' +a, +...+a.)-Inn（化简）=tnlimt→0t1(ai Ina + a, Ina2 +...+ a, Inan)%nlim-o ai +a, +...+a.= Ina +Ina, +...+ Ina, = In(aa, a.)1/Va*+a*+.+a.* = limely - l(aa = a,.alim(X>onx→o三、使用洛必达法则应该注意的问题01.只有一型才可以考虑使用洛必达法则；0885
85 3． 0 0 ， 0 ∞ 及 ∞1 型（幂指函数的不定式） 例 12．求极限 ln( ) 1 1 0 2 lim − → + x e x x （ ∞ 0 ） 解：令 ln( ) 1 1 2 − = x e y x ，则 x e y x ln ln( 1) 1 ln 2 − = ln( ) 1 ln lim ln lim 2 0 0 − = → + → + x x x e x y 1 2 1 0 2 2 lim − → + ⋅ = x x e e x x 1 2 2 lim 2 1 lim 0 2 2 0 = = − = → + → + x x x x x xe x xe e 所以 ln( ) 1 1 0 2 lim − → + x e x x e e y x = = → + ln 0 lim 例 13．求极限 0 lim x x x → + ( 0 0 ) 解： 0 lim x x x → + = ln 0 lim x x x e → + lim ln 0 x x x e → + = 0 ln lim 1 x x x e → + = 1 lim 1 0 2 x x x e + → − = 0 = e =1 例 14．求极限 nx x n x x x n a a a lim( ) 1 1 2 1 1 + + + →∞ " （ ∞1 型） 解：令 ： nx x n x x n a a a y ( ) 1 1 2 1 1 + + + = " ，则，ln ln( ) 1 1 2 1 1 n a a a y nx x n x x + + + = " limln lim ln( ) 1 1 2 1 1 n a a a y n x x n x x x x + + + = →∞ →∞ " x x n x x x a a a n n 1 1 1 2 1 1 ln( ) ln lim + + + − = →∞ " ( ) t a a a n t n t n t t t x ln ln lim 1 2 0 1 + + + − = → " （化简） ( ) n t n t t t n t t t a a a a a a a a a n ln ln ln 1 lim 1 1 2 2 1 2 0 0 0 + + + → + + + " " ( ) a1 a2 an a1a2 an = ln + ln +"+ ln = ln nx x n x x x n a a a lim( ) 1 1 2 1 1 + + + →∞ " n y a a a x e e a a a = lim ln = ln( 1 2" n ) = 1 2" →∞ 三、使用洛必达法则应该注意的问题 1．只有 0 0 、 ∞ ∞ 型才可以考虑使用洛必达法则；
x + 3x?3x2+6x6x + 6错误的解法：lim=lim-limx-→03x2+sinxx-06x+cosxx-06-sinx2.应多种求极限方法综合使用，并注意随时化简：/1+tanx-/1+sinxtanx-sinx=lim如：limx->0x’ sinx0 x sin x(/1+tanx + /1+sinx)tanx(1-cosx)1limx342 1-0sin"x-x° cos’x sinx+xcosx.sinx-xcosx=2limsinx-xcosxlimlimsin'xxx-→0X→0sinxsinxx->0xsinx_2cosx-(cosx-xsinx)=2lim量=2lim33x23x20803.注意洛必达法则中的条件3，即并非所有的型-3一定可以用洛必达法则求解。如080er-e-rer-e-e"+e-xlimlimlim+oex+e-xe-erte-xtpxLo01+e~2xex-e-x出现循环，应该用其它方式计算，如limlim1（转化无穷大的因素）：x-++o e"+e-xx→+00 1- 61+cosx1+cosxx+sinxlim lim极限lim不存在，但并不能由此得出原极限x→1-cOSx-→*1-cOSxx-ox-sinx=不存在。实际上此函数不满足洛必达法则中的条件3。正确的解法是：1 + sinx+sinxlim-=1。lim+x-sinxx-→01-sin例15.确定常数a,b,c，使得lnx=a+b(x-1)+c(x-1)+o[(x-1)解：由条件，Inx=a+b(x-1)+c(x-1)+o[(x-1)]，故应有：lnx-a-b(x-1)-c(x-1)是无穷小（x→1);lnx-a-b(x-1)-c(x-1)是比x-1高阶的无穷小（x→1)lnx-a-b(x-1)-c(x-1)是比(x-1)高阶的无穷小（x-→1);根据以上的分析，应有：86
86 错误的解法： 1 6 sin 6 6 lim 6 cos 3 6 lim 3 sin 3 lim 0 2 0 2 3 2 0 = − + = + + = + + → → → x x x x x x x x x x x x x 2．应多种求极限方法综合使用，并注意随时化简； 如： x x x x x sin 1 tan 1 sin lim 2 0 + − + → sin ( 1 tan 1 sin ) tan sin lim 2 0 x x x x x x x + + + − = → 4 tan (1 cos ) 1 lim 2 1 3 0 = − = → x x x x x x x x x 4 2 2 2 0 sin sin cos lim − → x x x x x x x x x 3 0 sin sin cos sin sin cos lim − ⋅ + = → 3 0 sin cos 2lim x x x x x − = → 0 0 2 0 3 cos (cos sin ) 2lim x x x x x x − − = → 3 2 3 sin 2lim 2 0 = = → x x x x 3．注意洛必达法则中的条件 3，即并非所有的 0 0 、 ∞ ∞ 型一定可以用洛必达法则求解。如 x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e − − →+∞ ∞ ∞ − − →+∞ ∞ ∞ − − →+∞ + − − + + − lim lim lim . 出现循环，应该用其它方式计算，如 1 1 1 lim lim 2 2 = − + = + − − − →+∞ − − →+∞ x x x x x x x x e e e e e e （转化无穷大的因素）； x x x x x x x x 1 cos 1 cos lim sin sin lim − + − + →∞ ∞ ∞ →∞ ，极限 x x x 1 cos 1 cos lim − + →∞ 不存在，但并不能由此得出原极限 不存在。实际上此函数不满足洛必达法则中的条件 3 。正确的解法是： 1 1 1 lim sin sin lim sin sin = − + − + →∞ →∞ x x x x x x x x x x 。 例 15．确定常数 a,b,c ，使得 ( ) ( ) [( ) ] 2 2 ln x = a + b x −1 + c x −1 + o x −1 。 解：由条件， ( ) ( ) [( ) ] 2 2 ln x = a + b x −1 + c x −1 + o x −1 ，故应有： ( )( )2 ln x − a − b x −1 − c x −1 是无穷小（ x →1）； ( )( )2 ln x − a − b x −1 − c x −1 是比 x −1高阶的无穷小（ x →1）； ( )( )2 ln x − a − b x −1 − c x −1 是比 2 (x −1) 高阶的无穷小（ x →1）； 根据以上的分析，应有：
(lim[lnx-a-b(x-1)-c(x-1)"]= 0(1)Inx-a-b(x-1)-c(x-1)-0(2)limX→x-1lnx-a-b(x-1)-c(x-1)=0(3)lim(x-1)由(1)lim[lnx-a-b(x-1)-c(x-1)]=0，可得：a=0;lnx-a-b(x-1)-c(x-1)+-b-2c(x-1)由(2)，用洛必达法则：0=limlim-1-h1x-1→x→>1~~b=l;lnx-a-b(x-1)-c(x-1)lnx-(x-1)-c(x-1)由(3)，用洛必达法则：0=limlim.(x-1)(x-1)X→1-±-2c= lim ±-1-2c(x-1)1-1-2c= limC=2222(x-1)x→>1x→1小结：本节讲述了洛必达法则及求未定式极限的方法作业：87
87 lim[ln ( )( ) 1 1 ] 0 2 1 − − − − − = → x a b x c x x ⑴ ( )( ) 0 1 ln 1 1 lim 2 1 = − − − − − − → x x a b x c x x ⑵ ( )( ) ( ) 0 1 ln 1 1 lim 2 2 1 = − − − − − − → x x a b x c x x ⑶ 由⑴lim[ln ( 1)( ) 1 ] 0 2 1 − − − − − = → x a b x c x x ，可得：a = 0 ； 由⑵，用洛必达法则： ( ) ( ) 1 ln 1 1 0 lim 2 1 − − − − − − = → x x a b x c x x ( ) 1 2 1 lim 1 1 − − − = → b c x x x = 1− b ~~ b =1； 由⑶，用洛必达法则： ( ) ( ) ( ) = − − − − − − = → 2 2 1 1 ln 1 1 0 lim x x a b x c x x ( )( ) ( )2 2 1 1 ln 1 1 lim − − − − − → x x x c x x ( ) 2( 1) 1 2 1 lim 1 1 − − − − = → x c x x x 2 2 lim 2 1 1 c x x − − = → 2 −1− 2c = ~~~~~ 2 1 c = − 小结：本节讲述了洛必达法则及求未定式极限的方法 作业：