第四节无穷小与无穷大1无穷小1无穷大1无穷小与无穷大的关系■小结思考题
第四节 无穷小与无穷大 ◼ 无穷小 ◼ 无穷大 ◼ 无穷小与无穷大的关系 ◼ 小结 思考题
无穷小1.定义极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。如,当x→0时，函数sinx是无穷小;当x→1时,sinx是无穷小当x→时,函数皆非无穷小x当x→2时,函数x-2是无穷小(-1)"当n→时,数列[是无穷小n无穷小是指在某个过程中函数变化的趋势
一、无穷小 1. 定义 极限为零的变量称为无穷小量, 简称 如, 当x → 0时, 函数sin x是 当x → 时,函数 是 x sin x 当x → 2时,函数x − 2是 无穷小是指 函数变化的趋势. 当n→时, } . ( 1) 数列{ 是无穷小 n n − 当x →1时, 皆非无穷小. 无穷小; 无穷小; 无穷小; 无穷小. 在某个过程中
定义1>0(不论它多么小,>0(或X>0)使得当0<xx(或x>X),恒有Lf(x)<ε则称f(x)当x→x(或x→)时的无穷小,记作lim f(x) = 0 (或 lim f(x)= 0)x→xor注1)无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆；无穷小量”并不是表达量的大小，而是表达它的变化状态的无限制变小的量2）零是可以作为无穷小的唯一的数
定义1 0(不论它多么小), 0 使得当0 | x − x0 | 恒有 | f (x)| (或X 0), (或| x | X), ( ) , 则称f x 当x → x0 时的无穷小 lim ( ) 0 0 = → f x x x 记作 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是 表达它的变化状态的. “无限制变小的量” (或x → ) ( lim ( ) = 0). → f x x 或
2.无穷小与函数极限的关系定理1lim f(x)= A f(x)= A+α(x),x→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小证 设lim f(x)= A, 令α(x)=f(x)-A>0,>0,当0, 恒有If(x)-A<ε也即 lα(x)<ε则有 lim α(x) = 0, . f(x)= A+ α(x).x→xo
2. 无穷小与函数极限的关系 证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令(x) = f (x) − A lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 定理1 f x A x x = → lim ( ) 0 ( ) . 其中 x 是当x → x0 时的无穷小 f (x) = A+ (x), 0, 0, 0 | | , 当 x − x0 恒有 | f (x) − A| 也即 |(x)|
定理1lim f(x)= A ← f(x) = A+α(x)x-→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小( 设 f(x)=A+α(x),α(x)是当x→x时的无穷小其中A是常数1 f(x)-A|=|α(x) I于是>0, >0,当0-x, 恒有Iα(x) <8即I f(x)-A<8. :: lim f(x)= A.x-→xo类似可证明x一→80 的情形
设 f (x) = A+ (x), 其中A是常数, ( ) , x 是当x → x0 时的无穷小 f x A x x = → lim ( ) 0 ( ) . 其中 x 是当x → x0 时的无穷小 f (x) = A+ (x), 于是 | f (x) − A|=| (x)| 0, 0, 0 | | , 当 x − x0 恒有 | (x)| 即 | f (x) − A| . lim ( ) . 0 f x A x x = → 类似可证明 x → 的情形. 定理1