在e (a,b),使得:f(a)g(b)-g(a)f(b)=[f(a)g'()-g(a)f'()(b-a)。证：构造函数 F(x)=f(a)g(s)-g(a)(x)，则由条件F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存在5e(a,b)，使得F(b)-F(a)=F'()(b-a); 因为F(b)= (a)g(b)-g(a)(b)F(a)=0F(x)= f(a)g(x)-g(a)F(x)代入即可证得： f(a)g(b)-g(a)f(b)=[(a)g ()-g(a)f'()(b-a)。例9.证明当x>0时，<ln(1+x)<x1+x证：设f(x)=In(1+x),[0,x)f(x)在[0,刘]上满足拉格朗日中值定理的条件，: f(x)-f(0)=f()(x-0),(0<E<x)：F(0)=0,F(x)=，由上式得1+xIn (1+ x) =1+$1由0<5<x=1<1+5<1+x=<11+x 1+是<盖<x,即<In(1+x)<x1+x1+51+x三、柯西中值定理（Cauchy）定理3、设函数F(x)、J(x)满足；①在闭区间[a,b]上连续；②在开区间（a,b）内可导，且F(x）±0：f(b)-f(a) _f'()则存在5e(a,b)，使得：F(b)-F(a) F()注：①因为F(x)+0，根据拉格朗日中值定理，F(b)-F(a)+0；78
78 在ξ ∈ ( ) a,b ，使得： f ()() a g b − g(a)f (b) = [f (a)g′(ξ ) − g(a)f ′(ξ )](b − a)。 证：构造函数 F(x) ()() = f a g x − g(a)f (x)，则由条件 F(x)在闭区间[ ] a,b 上连续， 在开区间 ( ) a,b 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ ( ) a,b ，使得 F( ) ( ) ( )( ) b − F a = F′ ξ b − a ；因为 F( ) b = f ()() () () a g b − g a f b F(a) = 0 F′(x) = f (a)g′(x) () () − g a f ′ x 代入即可证得： f (a)() () g b − g a f (b) = [f (a)g′(ξ ) − g(a)f ′(ξ )](b − a)。 例 9．证明当 x > 0 时， ln 1( ) 1 x x x x < +< + 证：设 f ( ) x xx = + ln 1 , 0, ( ) [ ] f ( ) x 在[0, x] 上满足拉格朗日中值定理的条件， ∴ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' f xf f x x − = − << 0 0,0 ξ ξ () () ' 1 0 0, 1 f fx x = = + ∵ ，由上式得 ln 1 , ( ) 1 x x ξ + = + 由 1 1 0 11 1 1 1 1 x x x ξ ξ ξ < < ⇒<+ <+ ⇒ < < + + ∴ , 1 1 x x x x ξ < < + + 即 ln 1( ) 1 x x x x < +< + 三、柯西中值定理（Cauchy） 定理 3、设函数 F(x)、 f ( ) x 满足； ① 在闭区间[a,b]上连续； ② 在开区间(a,b)内可导，且 F′(x) ≠ 0 ； 则存在ξ ∈ (a,b)，使得： ( ) ( ) () () ( ) ( ) ξ ξ F f F b F a f b f a ′ ′ = − − 。 注：①因为 F′( ) x ≠ 0 ，根据拉格朗日中值定理， F(b)− F(a) ≠ 0 ；
[X = F(x)此时X为自变量，Y为②证明的方法：构造以x为参数的参数方程(Y= f(x)f(b)-f(a) dyl应变量，且_)根据拉格朗日中值定理，，即dxF(x)F(b)-F(a)-dx x=f(b)- f(a) _ f'()F(b)-F(a) F'()③有人这样证明Cauchy中值定理：因为f(x)在区间[a,b]上满足Lagrange定理的条件，故3e(a,b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)；同理F(x)在区间[a,b]上也满足Lagrange定理的条件，故e(a,b)，使得F(b)-F(a)=F'(E)(b-a)；从而有J(b)-f(a) _ '()2F(b)-F(a)F()④Cauchy定理是Lagrange定理的推广，而Rolle定理则是Lagrange定理的特例。因此三个中值定理的核心是Lagrange定理，要求必须掌握，并能运用定理进行简单的证明。例10.设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数，且f(0) = (0) = f"(0) =...= f(n-1) (0) = 0试用 Cauchy定理证明：()_(2x))(0<0<1)。n!x"证：函数f(x)、F(x)=x"在区间[0,x]内满足Cauchy定理的条件，则E(O,x)，f(x)- f(0)'(S)即(d)_f'()使得：nEn-Ix"-0"nEr-xn函数(x)、F(x)=nx"-在区间[0,与]内满足Cauchy定理的条件，I(5)- f'(0)f"(52)使得即352 (0,5)?..n(n-1)5r-?n5"-l-0f'(S)f"(52)f(x) _ xnEn-in(n-1)52-79
79 ②证明的方法：构造以 x 为参数的参数方程： ( ) ⎩ ( ) ⎨ ⎧ = = Y f x X F x ，此时 X 为自变量，Y 为 应变量，且 ( ) ( ) F x f x dX dY ′ ′ = ，根据拉格朗日中值定理， ( ) ( ) () () =ξ = − − dX x dY F b F a f b f a ，即 () () () () ( ) ( ) ξ ξ F f F b F a f b f a ′ ′ = − − ； ③有人这样证明 Cauchy 中值定理： 因为 f (x) 在区间[a,b]上满足 Lagrange 定理的条件，故∃ξ ∈(a,b) ，使得 f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a)；同理 F(x)在区间[a,b]上也满足 Lagrange 定理的条 件，故∃ξ ∈(a,b) ，使得 F(b) − F(a) = F′(ξ )(b − a) ；从而有 ( ) ( ) () () ( ) ( ) ξ ξ F f F b F a f b f a ′ ′ = − − ？ ④Cauchy 定理是 Lagrange 定理的推广，而 Rolle 定理则是 Lagrange 定理的特例。 因此三个中值定理的核心是 Lagrange 定理，要求必须掌握，并能运用定理进 行简单的证明。 例 10．设函数 y = f (x) 在 x = 0 的某邻域内具有n 阶导数，且 0 (0) (0) (0) (0) ( 1) = ′ = ′′ = = = n− f f f " f 试用 Cauchy 定理证明： ! ( ) ( ) ( ) n f x x f x n n θ = （0 < θ < 1）。 证：函数 f (x) 、 n F(x) = x 在区间[0, x]内满足 Cauchy 定理的条件，则 (0, ) 1 ∃ξ ∈ x ， 使得： 1 1 1 ( ) 0 ( ) (0) − ′ = − − n n n n f x f x f ξ ξ ，即 1 1 1 ( ) ( ) − ′ = n n n f x f x ξ ξ ； 函 数 f ′(x) 、 1 1( ) − = n F x nx 在区间 [0, ] ξ1 内 满 足 Cauchy 定 理 的 条 件 ， (0, ) ∃ξ 2 ∈ ξ1 ，使得： 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( ) 0 ( ) (0) − − − ′′ = − ′ − ′ n n n n f n f f ξ ξ ξ ξ ， 即 = n x f (x) 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) − − − ′′ = ′ n n n n f n f ξ ξ ξ ξ
函数f(n-"(x)、F-(x)=n!x在区间[0,5n-]内满足Cauchy定理的条件，则F(-(5n-)- f(-(O) _ f("() .35e(0,5m-1)，使得：n!En- -0n!()_F()f"(52)("-"(5n-l) _("(2)n(n-1)"-?x"nsn-!n!5n-1n!其中≤e(0,5n-1) (0,5m-2)... C(0,5)c(0,x),即= 0+ 0(x-0)=x,0<0<1,(x) _((三) _ ("(cx)使得：x"n!n!例11.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：至少存在一点(0,1)使F ()=2[()-f(0)]分析结论可变形为f(0)-f(o)_f()_ f(x设F(x)=x51-025(x2)证：(x),F(x)在[0,1]上满足柯西中值定理条件，：在（0,1)内至少存在一点，有(0)-f(0) _ f ()1-025小结：本节讲述了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理及其应用作业：80
80 函数 ( ) ( 1) f x n− 、 F x n x n ( ) ! −1 = 在区间[0, ] ξ n−1 内满足 Cauchy 定理的条件，则 (0, ) ∃ξ ∈ ξ n−1 ，使得： ! ( ) ! 0 ( ) (0) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) n f n f f n n n n n ξ ξ ξ = − − − − − − ； = n x f (x) =" − ′′ = ′ − −2 2 2 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) n n n n f n f ξ ξ ξ ξ ! ( ) ! ( ) ( ) 1 1 ( 1) n f n f n n n n ξ ξ ξ = = − − − 其中 (0, ) ξ ∈ ξ n−1 ⊂ (0,ξ n−2 )" (0, ) (0, ) 1 ⊂ ξ ⊂ x ，即ξ = 0 +θ (x − 0) = θx，0 < θ < 1， 使得： n x f (x) ! ( ) ! ( ) ( ) ( ) n f x n f n n ξ θ = = 。 例 11．设函数 f ( ) x 在[0,1]上连续，在(0,1) 内可导，证明：至少存在一点ξ ∈( ) 0,1 , 使 ( ) () ( ) ' f ff ξ ξ = − 2 1 0. ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 分析 结论可变形为 () ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 1 0 10 2 | x f f f fx x ξ ξ ξ = − = = − ，设 ( ) 2 Fx x = 证： f () () x Fx , 在[0,1]上满足柯西中值定理条件， ∴ 在( ) 0,1 内至少存在一点ξ ，有 ( ) ( ) ( ) ' 1 0 10 2 ff f ξ ξ − = − 小结：本节讲述了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理及其应用 作业：
S3.2洛必达法则（L.Hospital）教学目的：掌握用洛必达法则求未定式极限的方法教学重点：洛必达法则及求未定式极限的方法教学难点：利用洛必达法则求未定式极限，应用时注意与其它求极限方法的结合教学内容：快只、一型不定式的极限的一种有效的方法。不定式主要包括：0（商本法则是解决，0808的极限）：0.80（积的极限）：00-80（差的极限）：0°、80°、1°（幂指函数的极限）。但有%、型的极限都可以用此法则计算。应当注意的是，并非所有08只及%型的洛必达法则08定理、设函数f(x)、g(x)满足：(1) lim f(x)=0, lim g(x)= 0 :(2)存在x。的一个去心邻域N(。,o)，在此邻域内，f(x)、g(x)存在，且g(x)+0f'(x)(3)极限lim存在或者为0；x->xo g'(x)则 lm碧=lm 兴,(→x0 g(x)x->x0 g(x)存在与否与函数r(t)、g(t)在点 的状态无关，及lm (t)=0 证：由于lim二+0 g(x)limg(x)=0，因此不妨设：f(x)=0，g(x)=0;VxeN(3,),不妨设x。<x，则f(x)、g(x)满足：在闭区间[xo,x]上连续，在开区间(xo,x)内可导，且g(x)±0。由Cauchy定理，存在e(xo,x)，使得f(x) f(x)-f(xo) _f'()g(x) g(x)-g(xo) g'()当x→时，有5→。，从而===m增+0 g(x) -0 g(x)-g(x0) 50 g'() x-0 g(x)81
81 §３.2 洛必达法则（L .Hospital） 教学目的：掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 教学重点：洛必达法则及求未定式极限的方法 教学难点：利用洛必达法则求未定式极限，应用时注意与其它求极限方法的结合 教学内容： 本法则是解决 0 0 、∞ ∞ 型不定式的极限的一种有效的方法。不定式主要包括： 0 0 、∞ ∞（商 的极限）；0 ⋅∞ （积的极限）；∞ − ∞ （差的极限）； 0 0 、 0 ∞ 、 ∞1 （幂指函数的极限）。但 应当注意的是，并非所有 0 0 、 ∞ ∞ 型的极限都可以用此法则计算。 一、 0 0 及 ∞ ∞ 型的洛必达法则 定理、设函数 f ( ) x 、 g( ) x 满足： ⑴ lim ( ) 0 0 = → f x x x ， lim ( ) 0 0 = → g x x x ； ⑵存在 0 x 的一个去心邻域 N( ) xˆ0 ,δ ，在此邻域内， f ′(x)、g′(x)存在，且 g′( ) x ≠ 0； ⑶极限 ( ) g ( ) x f x x x ′ ′ → 0 lim 存在或者为∞ ； 则 ( ) ( ) = → g x f x x x0 lim ( ) g ( ) x f x x x ′ ′ → 0 lim 。 证：由于 ( ) g( ) x f x x x0 lim → 存在与否与函数 f (x) 、 g(x) 在点 0 x 的状态无关，及 lim ( ) 0 0 = → f x x x ， lim ( ) 0 0 = → g x x x ，因此不妨设： f ( ) x0 = 0， g(x0 ) = 0； ∀x ∈ N( ) xˆ0 ,δ ,不妨设 x < x 0 ，则 f (x) 、 g(x) 满足：在闭区间[x , x] 0 上连续，在开 区间( ) x , x 0 内可导，且 g′( ) x ≠ 0。由 Cauchy 定理，存在 (x , x) ξ ∈ 0 ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ξ ξ g f g x g x f x f x g x f x ′ ′ = − − = 0 0 当 0 x → x 时，有 0 ξ → x ，从而 ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) x f x g f g x g x f x f x g x f x x x x x x x x ′ ′ = ′ ′ = − − = → 0 → 0 → 0 → 0 lim lim lim lim 0 0 ξ ξ ξ
f'(x)0仍然是%型的，函数f(x)、F(x)满足定理中对f(x)、F(x)的注：如果极限lim0x→ F(x)要求，则可以继续利用洛必达法则，即有f(x)I(x)f"(x)=limlim= lim x-→x0 g(x)1→x F(x)→ F"(x)表明在同一题中可以多次的使用洛必达法则。0a-br型）例1.求极限lim-0x→04(a-b*)α'-bra'Ina-bInb2= Ina -Inb=Ing%lim解：limlim001Yx-→0x(x)1→0Inx0型）求极限lim例2.- (1-x)0二一H1Inx1.=limlim解：lim00"(1-x)-2(1-x)2 --1 x(1-x)x→10cosx型）例3.求极限lim元0x-2(cosx)-sinxcosx元lim=lim解：= lim-sin-2元1x-x-(x-22cosx-V1+x0型）例4．求极限limx0x→01-sinx-cosx-V1+x2/1+x=00解：lim=limt3x2x-→0x-→>0注：①洛必达法则可以推广到×→x,时的~型不定式：8000②洛必达法则可以推广到x→8时的~一及一型不定式：0880③综上所述，洛必达法则可以用于讨论，及二型的不定式。080(型)tanx例5.求极限limx→cot2x8282
82 注：如果极限 ( ) ( ) lim0 F x f x x x ′ ′ → 仍然是 0 0 型的，函数 f ′(x) 、F′(x) 满足定理中对 f (x) 、F(x)的 要求，则可以继续利用洛必达法则，即有 ( ) ( ) = → g x f x x x0 lim ( ) ( ) lim0 F x f x x x ′ ′ → ( ) ( ) lim0 F x f x x x ′′ ′′ = → . 表明在同一题中可以多次的使用洛必达法则。 例 1．求极限 x a b x x x − →0 lim 。（ 0 0 型） 解： ( ) ( ) b a a b a a b b x a b x a b x x x x x x x x x ln ln ln 1 ln ln lim lim lim 0 0 0 0 0 = − = − = ′ ′ − − → → → 例 2． 求极限 ( )2 1 1 ln lim x x x − → 。（ 0 0 型） 解： ( ) ( ) ( ) = ∞ − = − − − = → − x → x → x x x x x x x 1 1 lim 2 1 2 1 lim 1 ln lim 1 1 1 2 1 例 3．求极限 2 cos lim 2 x x x →π π − 。（ 0 0 型） 解： 2 cos lim 2 x x x →π π = − 2 (cos ) lim ( ) 2 x x x →π π ′ − ′ 2 sin lim x 1 x π → − = sin 2 π = − = −1 例 4．求极限 3 0 cos 1 limx x x → x − + 。（ 0 0 型） 解： 3 0 cos 1 limx x x → x − + 2 0 1 sin 2 1 limx 3 x x → x − − + = = ∞ 注：① 洛必达法则可以推广到 0 x → x 时的 ∞ ∞ 型不定式； ② 洛必达法则可以推广到 x → ∞ 时的 ∞ ∞ 及 0 0 型不定式； ③ 综上所述，洛必达法则可以用于讨论 ∞ ∞ 及 0 0 型的不定式。 例 5．求极限 x x x cot 2 tan lim 2 π → 。（ ∞ ∞ 型）