$3.3泰勒公式（Taylor）教学目的：理解并会用泰勒中值定理教学重点：泰勒公式及应用教学难点：泰勒公式及应用教学内容：一．泰勒公式如果函数y=f(x)在x点可微，则Ay=AAx+o(△x)，即f(x +Ar)-f(x)= f(x)Ar+o(Ax)若令x=xo+△x，则f(x)-f(x)=f"(x)(x-xo)+o(x-x)，有f(x)-f(xo)~f(xo)(x-xo)或f(x)~f(xo)+f(xo)(x-xo)，其误差为高阶无穷小o(x-x)；即用一次多项式p(x)=f(xo)+f(xo)(x-x)近似表示函数，且此多项式在xo与函数f(x)有相同的函数值及一阶导数值。其缺点是(1)不能够任意地提高精确度；(2)无法估计误差的范围。因此考虑是否可以用高阶多项式来近似地表示函数，同时解决误差估计的问题。根据前面的讨论，f(x)-p(x)=f(x)-f(xo)+f(x)(x-x)=o(x-xo),如果(x)-p(x)与(x-xo)同阶，则0(x-= lim ()-P(= lim ()-()-[()x-)limX→X0(x-xo)x- (x-x)x-0(x-x0)= lim ['()-[() _ ["()[f(x)在x二阶可导】22(x-xo)即ima=)，则=)+α，（α→0，当x→o)，则220 (x-x0)2(x-xo)?0(x-)-((x-%)+a(x-)2且 lim a(x-x)2=limα=0，即α(x-x)=o[(x-x)]，从而 (x-xo)2X88
88 §3.3 泰勒公式( Taylor ) 教学目的：理解并会用泰勒中值定理 教学重点：泰勒公式及应用 教学难点：泰勒公式及应用 教学内容： 一．泰勒公式 如果函数 y = f (x) 在 0 x 点可微，则 Δy = AΔx + o(Δx) ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + Δx − f x = f ′ x Δx + o Δx 若令 x = x + Δx 0 ，则 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x − f x = f ′ x x − x + o x − x ，有 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x − f x ≈ f ′ x x − x 或 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x ≈ f x + f ′ x x − x ，其误差为高阶无穷小 ( )0 o x − x ；即用一次多项式 ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 p x = f x + f ′ x x − x 近似表示函数，且此多项式在 0 x 与函数 f (x) 有相同的函数值及一阶导数值。其缺点是⑴不能够任意地提高精确度；⑵无法 估计误差的范围。因此考虑是否可以用高阶多项式来近似地表示函数，同时解决误差估计的 问题。 根据前面的讨论， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 0 0 0 0 f x − p x = f x − f x + f ′ x x − x = o x − x ， 如果 ( ) ( ) 1 f x − p x 与 2 0 (x − x ) 同阶，则 2 0 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim0 0 x x f x p x x x o x x x x x x − − = − − → → 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim0 x x f x f x f x x x x x − − − ′ − = → 2( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 x x f x f x x x − ′ − ′ = → 2 ( )0 f ′′ x = [ f (x) 在 0 x 二阶可导] 即 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 2 0 0 0 f x x x o x x x x ′′ = − − → ，则 +α ′′ = − − 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 f x x x o x x ，（α → 0 ，当 0 x → x ），则 2 0 2 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) x x x x f x o x x − + − ′′ − = α 且 lim 0 ( ) ( ) lim0 0 2 0 2 0 = = − − → → α α x x x x x x x x ，即 ( ) [( ) ] 2 0 2 0 α x − x = o x − x ，从而
(1)= P(1)+ 0(x-0) = (0)+ (c0)x- 0)+ ((x- 0) + ([(x- 0)2f(x)=p2(x)+o[(x-xo)]，P2(x)与函数f(x)在x有相同的函数值、一阶导数值以及二阶导数值。若f(x)~p2(x)，则误差为o[(x-xo))，..一般，设()(x-x)",则 p,()与P,(x)= ()+ F(x)(x-)+ "((x -x) +.+ 2n!函数f(x)在xo有相同的函数值、一阶导数值、二阶导数值以及直至相同的n阶导数值；若用f(x)=p,(x)，其误差为o[(x-x)"]，即r"(0)(x-x0)" + 0[(x-x0)]J(n)= (x0)+ (x0)(x-x0)+ ["(c0)(Y2n!称p,(x)为函数f(x)在点x的n阶泰勒多项式，且f(x)=P,(a)+o[(x-xo)"1根据上面的讨论，只要函数f(x)在xo点有n阶导数，就有f(x)=p,(x)+o[(x-x)"]：其中近似计算为f(x)P,(x)，但误差o[(x-x)"仍然无法估计。定理（Taylor中值定理）若函数f(x)在点x的某邻域内有直到n+1阶的导数，则对邻域内的任意一点x都有f(x)= p,(x)+R,(x)称为f(x)在点x的n阶泰勒公式，而称P,() ()+ ()x-0)+ ((x-)n!((x-)"~测为n阶泰勤为f(x)在点x。的n阶泰勒多项式，R,(x)=(n + 1)!公式的拉格朗日型余项，三介于xo，x之间。证：构造函数：f(n)(x0)(x-x0)")g(x) = f(x)- P,(x) = f(x)-(f(xo)+ '(xo)(x-xo)+..+n!89
89 ( ) ( ) ( ) 1 0 f x = p x + o x − x ( ) [( ) ] 2 ( ) ( ) ( )( ) 2 0 2 0 0 0 0 0 x x o x x f x f x f x x x − + − ′′ = + ′ − + ( ) ( ) [( ) ] 2 2 0 f x = p x + o x − x ， ( ) 2 p x 与函数 f (x) 在 0 x 有相同的函数值、一阶导数值以及 二阶导数值。若 ( ) ( ) 2 f x ≈ p x ，则误差为 [( ) ] 2 0 o x − x ， . 一 般 ， 设 n n n x x n f x x x f x p x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − ′′ = + ′ − + " ，则 p (x) n 与 函数 f (x) 在 0 x 有相同的函数值、一阶导数值、二阶导数值以及直至相同的 n 阶导数值；若 用 f (x) p (x) ≈ n ，其误差为 [( ) ] 0 n o x − x ，即 ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 n n n x x o x x n f x x x f x f x f x f x x x − + + − + − ′′ = + ′ − + " 称 p (x) n 为函数 f (x) 在点 0 x 的 n 阶泰勒多项式，且 ( ) ( ) [( ) ] 0 n n f x = p x + o x − x 。 根据上面的讨论，只要函数 f (x) 在 0 x 点 有 n 阶导数，就有 ( ) ( ) [( ) ] 0 n n f x = p x + o x − x ；其中近似计算为 f (x) p (x) ≈ n ，但误差 [( ) ] 0 n o x − x 仍然无 法估计。 定理（Taylor 中值定理）若函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域内有直到 n +1阶的导数，则对邻域内 的任意一点 x 都有 f (x) p (x) R (x) = n + n 称为 f (x) 在点 0 x 的n 阶泰勒公式，而称 n n n x x n f x p x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) = 0 + ′ 0 − 0 +"+ − 为 f (x) 在点 0 x 的 n 阶泰勒多项式， 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ξ 则为 n 阶泰勒 公式的拉格朗日型余项，ξ 介于 x , x 0 之间。 证：构造函数： g(x) f (x) p (x) = − n ( ) } ! ( ) ( ) { ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 0 0 0 n n x x n f x = f x − f x + f ′ x x − x +"+ −