第五节极限运算法则■集合极限运算法则求极限方法举例■小结思考题
第五节 极限运算法则 ◼ 集合极限运算法则 ◼ 求极限方法举例 ◼ 小结 思考题
极限运算法则limf(x）泛指任一种极限设 lim f(x)= A, lim g(x)= B,则定理1(1)liml f(x)±g(x)l = A± B;(2)liml f(x)· g(x)] = A B;f(x)A(3)lim其中B±0.Bg(x)证 (1) : lim f(x) = A, lim g(x) = B.无穷小与函数极限的关系其中α→0,β→0
一、极限运算法则 定理1 设lim f (x) = A,lim g(x) = B,则 证 lim f (x) = A, f (x) = A+ , (1) (1) lim[ f (x) g(x)] = A B; (2) lim[ f (x) g(x)] = A B; , 0. ( ) ( ) (3) lim = B B A g x f x 其 中lim f (x)泛指任一种极限 g(x) = B + . 其中 →0, →0. 无穷小与函数极限的关系 lim g(x) = B
f(x)±g(x)=[A+α]±[B+β]=[A ±B]+[α± β]由无穷小运算法则,得 α±β→0:. lim[ f(x) ±g(x)l = A± B= lim f(x)± limg(x)(2) 的特例是 lim[Cf(x)= C lim f(x)即常数因子可以提到极限符号外面，lim[ f(x)]" = [lim f(x)]"n是正整数
即常数因子可以提到极限符号外面. = n lim[ f (x)] 由无穷小运算法则,得 → 0 f (x) g(x) = (2) lim[Cf (x)] = C lim f (x) n是正整数. n [lim f (x)] A B= lim f (x) lim g(x) 的特例是 [A + ]±[B + ] = [A ±B] + [± ] lim[ f ( x)±g( x)] =
定理2 设有数列(x,和y,,如果lim x, = A, lim yn = Bn8n8那末 (1)lim(x,± yn)=A±B;n>0(2) limxn yn = A. B;n8(3)当y, ±0(n = 1,2,..)且B ±0时AxnlimBn-→>00yn
定理 2 lim x A , n n = → 那末 = → (1) lim( ) n n n x y { } { }, n n 设有数列 x 和 y lim y B , n n = → 如果 = → n n n ( 2 ) lim x y (3)当y 0(n = 1,2, )且B 0时, n = → nn n yx lim A B ; A B ; . BA
定理3如果p(x)≥y(x),而limp(x) = a,lim y(x) = b, 那末a ≥ b.证 令f(x)=p(x)-(x),则 f(x)≥0.由定理1(1):有 lim f(x) = lim[g(x) -y(x))= limg(x) - limy(x) = a-b.有limf(x)≥0,即 a-b≥0,由保号性定理故a≥b.若在U(x,S)内有f(x)≥0,则必有A≥0
定理3 如果(x) (x), 那末a b. 证 令f (x) = (x) −(x),则 f (x) 0. 由定理1(1), lim f (x) = lim(x) −(x) = lim(x) − lim(x) = a −b. 由保号性定理, lim f (x) 0, a b. 即 a − b 0, 故 而lim(x) = a, lim (x) = b, 有 ( , ) ( ) 0, 若在U x0 内有f x 则必有A 0. 有