第七节无穷小的比较■无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限小结思考题
第七节 无穷小的比较 ◼ 无穷小的比较 ◼ 利用等价无穷小替换求极限 ◼ 小结 思考题
无穷小的比较如,当x→0时,x,x2,sin x,x2 sin=是无穷小。x2=0,x2→0比3x→0要快得多;lim观察各极限3xx-→0sinx1limsinx→0与x→0快慢相仿;x-→0x1sinxxlimlimsin=不存在.不可比-x-→0x→0x“快慢”极限不同，反映了趋向于零的程度不同
如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ 当x → 0时, 0 3 0 ; x 2 → 比 x → 要快得多 sin x →0与x →0快慢相仿; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 观 察 各 极 限 x, , 是无穷小. 2 x sin x, x x 1 sin 2 一、无穷小的比较 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同
定义 设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α±0B=0,(1) 如果lim就说β是比α高阶的无穷小；α记作β= 0(α);β(2) 如果lim=8,就说β是比α低阶的无穷小;αβ(3) 如果lim=C(C±0),就说β与α是同阶无穷小;α特别当C=1时，则称β与α是等价无穷小，记作α～β
定义 (2) lim = , 如果 (3) lim = C(C 0), 如果 (1) lim = 0, 如果特别,当C = 1时, 就说是比 记作 = o(); 就说与是 则称与是 记作 ~ . 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 低阶的无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小, 设, 且 0. 就说是比
β(4) 如果limC(C ± 0,k > 0)Q就说β是关于α的k阶无穷小1是的高阶无穷小，如 n→时,一.2=nn1001是x →8时的同阶无穷小xx1-cosx因为 limx→02所以当x→0时,1-cosx是x的二阶无穷小
k = C (4) 如果lim 就说是关于的 (C 0, k 0), 如 n→时, ; 1 1 2 = n o n 是 的 n n 1 1 2 高阶无穷小, x →时, 是 的 x x 1 100 同阶无穷小 . 因为 2 0 1 cos lim x x x − → 所以当x →0时, 1− cos x是x的 二阶无穷小. 2 , 2 1 = 2 1 k 阶无穷小
当x→0时常用等价无穷小tanx ~ x,sinx ~ x,arcsin x ~ x,ex-1~x,In(1+ x) ~ x,arctan x ~ x,/1+x-1~-x,2n1-cosx~2
常用等价无穷小 sin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1+ x) ~ x, e 1 ~ x, x − . 2 1 1 cos ~ 2 − x x , 2 1 1+ x −1 ~ x arcsin x ~ x, 当x → 0时 , 1 1 1 ~ x n + x − n