HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理3 设 A为n阶对称矩阵入是A的特征方程的1重根,则矩阵 A- 2E 的秩 R(A- αE)= n-r,从而对应特征值入恰有r个线性无关的特征向量定理4设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵P,使P-lAP= Λ,其中Λ是以A的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵证明设A的互不相等的特征值为,2…,,，它们的重数依次为ri,r2，.,r,(r +r2+..+r=n).根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：回不质
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH对应特征值 a;(i=1,2,.…,s),恰有 r;个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r；个单位正交的特征向量.由r +r2 ＋.….+r,= n知,这样的特征向量共可得n个由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交故这n个单位特征向量两两正交以它们为列向量构成正交矩阵P，则P-1AP = P-IP△ = △其中对角矩阵Λ的对角元素含r个,….,r，个,,恰是A的n个特征值上页画下质
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则