推广：若L为空间有向光滑曲线孤，P(x,y,),Q(x,y,z) 及R(x,y,z)为定义在L上的有界函数，则可类似地定义 在空间有向曲线L上对坐标的曲线积分（或第二类曲线 积分) [P(x.y.)dx=lim P()Ax →0 i=1 ∫0(x,y2y=1im∑0(5，5，)Ay 2→0 i=1 ,R(x,y2=m∑R5,n5)AL, 注意：本节下一段的定理1将看到，当被积函数在有向 光滑曲线孤L上连续时，对坐标的曲线积分总是存在 的.如果未作特别说明，以后我们总假定被积函数在上 连续 2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回 推广： 若 L 为空间有向光滑曲线弧，P x(, ,) y z ，Q x(, ,) y z 及 R x(, ,) y z 为定义在 L 上的有界函数，则可类似地定义 在空间有向曲线 L 上对坐标的曲线积分（或第二 类曲线 积分） 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n iii i i P xyz x P x λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 0 1 ( , , ) lim ( , , ) . d n iii i i Qxyz y Q y λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 0 1 ( , , )d lim ( , , ) . n iii i i R x y zz R z λ ξηζ Γ → = = ∑ Δ ∫ 注意：本节下一段的定理 1 将看到，当被积函数在有 向 光滑曲线弧 L 上连续时，对坐标的曲线积分 总是存在 的．如果未作特别说明，以后我们总假定被积函数在 L 上 连续．
前面讲到的变力沿曲线所作的功可表示为 W=SP(x.)dx+O(x.y)dy 习惯上，常常把∫P(x,)dr+∫，Q(x, 简写成，P(x,y)dx+Q(x,y)dy 类似地，把∫，P(x,ydr+(x,y+∫R(x,八，)d 简写成∫P(x,y,2)dx+Q(x,2)y+R(x,y,z)d正 如果L是有向闭曲线，那么该曲线积分记为 ∮，Pdr+Qd或∮Pdr+Oy+Rdz 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 7 目录 上页 下页 返回 前面讲到的变力沿曲线所作的功可表示为 W ( , )d ( , )d L L = + P x y x Qx y y ∫ ∫ 习惯上，常常把 ( , )d ( , )d L L P x y x Qx + y y ∫ ∫ 简写成 ( , )d ( , )d L P x y x Qx + y y ∫ 类似地，把 ( , , )d ( , , )d ( , , )d LL L P x y z x Qx + + y z y R x y z z ∫∫∫ 简写成 ( , , )d ( , , )d ( , , )d L P x y z x Qx + + y z y R x y z z ∫ 如果 L 是有向闭曲线，那么该曲线积分记为 d d L P x Q+ y v∫ ddd L P x Q+ +y R z 或 v∫
3.对坐标的曲线积分的性质 性质1两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和.即 ∫（±Rd=∫Pdr±jBd J,(g±Oy=∫，0dy±j0,d 性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面， 即 JkPdx=kf,Pdx,JkQdy=k Qdy, 2009年7月26日星期日 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 8 目录 上页 下页 返回 3. 对坐标的曲线积分的性质 性质 1 两个函数代数和的曲线积分等于这两个函 数的曲线积分的代数和．即 1 2 1 2 ( d d d; ) L LL P P ± = x Px ± P x ∫ ∫∫ 1 2 2 1 () d d d L LL ∫ ∫∫ QQ Q y ± ± y y = Q 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即 d d, L L kP x P x = k ∫ ∫ d d, L L kQ y = k Q y ∫ ∫