83相似矩阵相似矩阵的概念一定义7.设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使P-1AP=B则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似.对A进行运算P-AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.记作ASB二、相似矩阵的性质相似是矩阵之间的一种关系这种关系具有以下性质
§3 相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义7.设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P使 则称B是A的相似矩阵,或说B与A相似. 称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变 换矩阵.记作A∽B 二 、相似矩阵的性质 相似是矩阵之间的一种关系,这种关系具有以下性质: P AP = B −1 A P AP 对 进行运算 −1
1）反身性:任意方阵A,都有AA;2)对称性 :若AB,则BのA;3)传递性:若ASB,BSC,则 AC。证前两条显然.现在证第三条,由定义存在可逆阵P和P,使所以B=P-AP，C=P-"BP2，C=P,-(P-AP)P=P"P-APP=(PP)-A(PP)故ASC
1) 反身性 :任意方阵A,都有A∽A； 2) 对称性 :若A∽B,则B∽ A； 3) 传递性:若A∽B,B∽C,则 A∽ C。 证 前两条显然.现在证第三条,由定义存在可逆阵 故 A∽ C P1和P2 ,使 1 2 1 1 1 2 C P (P AP )P − − = 1 2 1 1 1 P2 P AP P − − = ( ) ( ) 1 2 1 P1 P2 A P P − = 1 1 1 1 2 2 B P AP C P BP , − − = = , 所以
三、相似矩阵的定理定理3若阶矩阵A与B相似.则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同证因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P-AP=B故B-E|=|P-'AP-P-I(^E)P =P-(A->E)P=P-I|A-2E|P|=|A-2E故矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值推论若n阶矩阵A与对角矩阵2相似,二
三、相似矩阵的定理 定理3 若阶矩阵A与B相似,则A与B的 特征多项式相同,从而A与B的特征值相同. 证 因A与B相似,即有可逆矩阵P, 故矩阵A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. 推论 若n阶矩阵A与对角矩阵 = n 2 1 相似, 使P −1 AP = B 故 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A− E)P −1 = P A− E P −1 = A−E
则入,,2，,入,是A的n个特征值证显然>,22,αn是A的n个特征值由定理3知入,,入,，入,是A的n个特征值容易推证:若A=PBP-1,则Ak=PBkP-1β(A)= Pβ(B)P-1特别,若有可逆矩阵P，使P-lAP=Λ为对角矩阵,则A*=PΛ*p-l,β(A)= Pp(A)P-而对于对角矩阵△,有p(2,)Np(22)AkP(A)0(αn))
容易推证: 特别,若有可逆矩阵P, 而对于对角矩阵Λ,有 , 2 1 = k n k k k ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 n , , , . 则1 2 n是A的n个特征值 3 , , , . 由定理 知1 2 n是A的n个特征值 1 1 , − − A = PBP A = PB P 若 则 k k ( ) ( ) −1 A = P B P 使P −1 AP = 为对角矩阵,则 ( ) ( ) 1 1 , − − A = P P A = P P k k 证 显然 λ1 , λ2 ,. , λn 是Λ的n个特征值
由此可方便计算出A的多项式β(A)有一个很有趣的结论：设f(2)是矩阵A的特征多项式,则f(A)= 0,这个结论的证明比较困难但若A与对角矩阵相似,则容易证明结论.这是因为若A与对角矩阵相似，即有可逆矩阵P使P-1AP= △=diag(α1,入，,入,)，其中入,为的特征值有f(2,)= 0.由A= PΛP-1,有f(2,)P-1f(A) = Pf(A)P-1 = Pf(2n)= POP-1 = O
由此可方便计算出A的多项式φ(A) 有一个很有趣的结论:设f (λ)是矩阵A的特征 多项式,则f (A) = 0 ,这个结论的证明比较困难 ,但 若A与对角矩阵相似,则容易证明结论.这是因为： 若A与对角矩阵相似,即有可逆矩阵P,使 有f (i ) = 0.由A = PP -1 ,有 -1 f (A) = Pf ()P 1 1 ( ) ( ) - P P = n f f = POP = O −1 ( , , ), 1 2 n = diag P-1AP = Λ 其中λi为的特征值