第五章相似矩阵与二次型 定义5.2.2设A,B是两个阶方阵，如果存在一个可逆 矩阵C,使得B=C丝C,则称A和B是合同的 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同。 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩
第五章 相似矩阵与二次型 由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次 型的矩阵合同. 由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩
第五章相似矩阵与二次型 三、二次型的标准形 只含有平方项的二次型 f=ly+l+L+lyi 称为二次型的标准型， e 说明：1.标准二次型的矩阵是对角矩阵 12 0 包 1.8 2.要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形， 就是要使yC4Cy=11y+12?+L+1my房 也就是要使C4C成为对角矩阵
第五章 相似矩阵与二次型 三、二次型的标准形 说明：
第五章相似矩阵与二次型 由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P1AP=L,即P4P=L因此任意一个实二次型 都可以化为标准形. 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cnx 是正交矩阵，则称它为正交线性变换，简称正交变换 显然正交变换是可逆的
第五章 相似矩阵与二次型 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3 如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cij)n×n 是正交矩阵，则称它为正交线性变换，简称正交变换. 显然正交变换是可逆的
第五章相似矩阵与二次型 定理5.5.1任给实二次型f=XX(A=A),总有 正交变换X=PY,使f化为标准形 f=ly+1y2+L+ly2 其中11，l2L,1是矩阵的特征值. 例1求正交变换X=PY,把二次型 ∫=4x+3x2+2x2x3+3x化为标准形. c4 0 0ù 解：()二次型的矩阵为：A=80 3 01 3日
第五章 相似矩阵与二次型 解:(1)二次型的矩阵为：