江画工太猩院 四、数列极限的性质 1、有界性 定义:对数列xn,若存在正数M,使得一切自 然数n,恒有xn≤M成立,则称数列x有界, 否则,称为无界 例如,数列x,=,;有界数列x,=2"无界 n+1 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间 -M,M上
江西理工大学理学院 四、数列极限的性质 1、有界性 定义: 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切自 然数n, 恒有 xn ≤ M 成立, 则称数列 xn有界, 否则, 称为无界. 例如, ; + 1 = n n 数列 xn 2 . n 数列 xn = 数轴上对应于有界数列的点 xn 都落在闭区间 [−M, M]上. 有界 无界
江画工太猩院 定理1收敛的数列必定有界 证设 lim x=a,由定义,取ε=1, 1→0 则N使得当n>N时恒有xn-a<1, 即有a-1<xn<a+1 记M=max{x1,…,xN,-1,a+1}, 则对一切自然数n皆有xn≤M,故xn有界 注意:有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散
江西理工大学理学院 定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = →∞ 设 由定义, 取ε = 1, ∃N, n > N x − a < 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 < x < a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 L x N a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n ≤ 故{ }有界. xn 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散