江画工太猩院 V定义: lim x=a令 nl→0 v>0,N>0,使n>N时,恒有xn-a<E 其中:每一个或任给的;彐:至少有一个或存在. 几何解释: -8 28a+8 21xM+1Ⅱx+2x3 当n>N时,所有的点x都落在(a-,a+l)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外
江西理工大学理学院 x x2 x1 xN +1 xN +2 x3 几何解释: 2ε a − ε a + ε a ( ) . , ( , ) , 只有有限个 至多只有 个 落在其外 当 时 所有的点 都落在 内 N n N x a a n > − ε + ε ε − N定义 : 其中 ∀ : 每一个或任给的 ; ∃ : 至少有一个或存在 . 0, 0, , . lim ∀ε > ∃ > > − < ε = ⇔ →∞ N n N x a x a n n n 使 时 恒有
江画工太猩院 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法 n+(-1)y21 例1证明im n+(-1) 证 1 任给ε>0,要xn-1<ε,只要-<ε,或n>, 所以,取N=,则当n>N时, n+(-1)1 就有 1<B即im n+(-1)21 1 1→0
江西理工大学理学院 数列极限的定义未给出求极限的方法 . 例 1 1 . ( 1 ) lim 1 = + − − → ∞ n n n n 证明 证 − 1 n x 1 ( 1 ) 1 − + − = − n n n n 1 = 任给 ε > 0 , − 1 < ε , 要 x n , 1 < ε n 只要 , 1 ε 或 n > 所以, ], 1 [ ε 取 N = 则当 n > N时 , − < ε + − − 1 ( 1 ) 1 n n n 就有 1 . ( 1 ) lim 1 = + − − → ∞ n n n n 即 注意：
江画工太猩院 例2设x≡C(C为常数,证明imxn=C n1→0 证任给E>0,对于一切自然数n, xn-C=C-C=0<8成立, 所以, lim x=C n→0 说明常数列的极限等于同一常数 小结:用定义证数列极限存在时关键是任意给 定E>0,寻找N,但不必要求最小的N
江西理工大学理学院 例2 x C(C ), lim x C. n n n ≡ = 设 为常数 证明 →∞ 证 xn − C = C − C < ε成立, 任给ε > 0, 所以, = 0 对于一切自然数 n , lim x C. n n = →∞ 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 寻找 ε > 0, N,但不必要求最小的N
江画工太猩院 例3证明limg"=0,其中q<1 n→0 证任给e>0,若q=0,则imgq"=im0=0 1-→0 若0<q<,xn-0="<8,mq<h ne 1> 取N 8 l,则当n>M时, 就有q"-0<, ling=0 n→0
江西理工大学理学院 例3 lim = 0, < 1. →∞ q q n n 证明 其中 证 任给ε > 0, − 0 = < ε, n n x q nln q < lnε, ], lnln [ q N ε 取 = 则当n > N时, − 0 < ε, n 就有q ∴ lim = 0. →∞ n n q 若q = 0, lim = lim 0 = 0; →∞ n→∞ n n 则 q 若0 < q < 1, , ln ln q n ε ∴ >
江画工太猩院 n+0n=>0 例4设xn>0,且limx 求证 linux=√a. n →0 证任给8>0, lim x=a, nl→0 彐使得当n>N时恒有xn-a<E1 x-a 从而有、xn-√a=-n 8 =8 x.+√a 故imxn=a. n→
江西理工大学理学院 例4 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = > = > →∞ →∞ 求证 设 且 证 任给ε > 0, lim x a. n n = →∞ 故 lim x a, n n = →∞ Q , 1 ∴∃N n > N x − a < ε 使得当 时恒有 n x a x a x a n n n + − 从而有 − = a xn − a < a 1 ε < = ε