定理：若函数f(x,y)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 ∂f al =f(xoo)cosa+f(xo)cosB (x0,0) 其中cosa,cosB为I的方向角余弦 e 证明：设f(x,y)在点(xo,y)可微分，故有 f(x+△x,y+Ay)-f(xo,o)=f△x+f,△y+o(P) 取△x=1cosa,△y=1cosB,V(△x)2+(△y)2=1.所以 lim f(xo+tcosa,yo+tcos B)-f(xo2 Yo) 1→0 t =f(xo Yo)cosa+f (xo,o)cosB
0 0 0 定理: 若函数 f x y P x y ( , ) ( , ) , 在点 处可微 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )cos ( , )cos x y x y f f x y f x y l 证明: 且有 P0 l x y O l e 0 0 0 0 0 ( cos , cos ) ( , ) lim t f x t y t f x y t 0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos x y f x y f x y
例1.求函数z=xe2在点P(1,0)处从点P(1,0)到点 Q2,-1)的方向的方向导数 解：这里方向即向量PO=1,-1)的方向，与同向 的单位向量为总=万·一 coSa= =COS B=- 又函数可微分，且 =e2 =2xe2=2, axla.o) 1.0) 1.0) 1(1,0) 三2 √2 .) 2 2
例1. 求函数 在点 P(1, 0) 处从点P(1, 0)到点 Q(2,-1) 的方向的方向导数 . 解:
对于三元函数f(x,y,z)来说，它在空间一点P(x,yo,2) 沿方向e=(cosa,cosB,cosy)的方向导数为 =lim f(x+tcosa,%+tcosβ，2o+tcosy)-f(xo,yo,2o) alw 1→0 同样可以证明：如果函数f(x,y,z)在点(x,o,)可微分， 则函数在该点沿方向e=(cosa,cosB,cosy)的方向导数为 al =f (xo Yo=o)cosa+f (xoYo=)cos B (x0,0,20) +f(xo,%,2o)c0s7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos , cos ) ( , , ) = lim , t x y f f x t y t z t f x y z l t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , )cos ( , , )cos x y x y z f f x y z f x y z l 0 0 0 ( , , )cos z f x y z