第四章 第二节换元积分法(2) (Integration by Substitution) 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 三、小结与思考题 2009年7月3日星期五 1 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 换元积分法(2) 第四章 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 （Integration by Substitution ） 三、小结与思考题
二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 ∫fl(xl'xh=∫/6wdwu=o() 难求 易求 若所求积分∫f(w)du难求， f[p(x】p'(x)dx易求， 则用第二类换元积分法 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 ϕϕ ′ d)()]([ xxxf ∫ ∫ = d)( uuf = ϕ xu )( 若所求积分 ϕϕ ′ d)()]([ xxxf ∫ 易求, 则用第二类换元积分法 . ∫ d)( uuf 难求
定理2设x=yW(t)是单调可导函数，且W(t)≠0， f[w(t]小wW(t)具有原函数，则有换元公式 f(dx=fdi 其中t=y(x)是x=必()的反函数， 证：设fLyw(t)]w(t)的原函数为①(t),令 F(x)=[y'] 则 ra-0业/心o0=w -.f(x)dx=F(x)+C=W(x)]+C =∫fww')dt-wax 2009年7月3日星期五 3 目录○上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 = )( +CxF Φ′ t = f ψ t ψ′ t)()]([)( x = ψ t)( 是单调可导函数 , 且 ψ′ t ≠ ,0)( f ψ t ψ′ t)()]([ 具有原函数 , )( d)()]([d)( 1 xt tttfxxf − = = ′ ∫∫ ψ ψψ .)()( 其中 = ψ − 1 是 = ψ txxt 的反函数 证 : 设 ψ ψ′ ttf )()]([ 的原函数为 Φ t ,)( ])([)( 1 xF x 令 − Φ= ψ 则 ′ xF )( = d t d Φ x t d d ⋅ = f ψ t ψ′ t)()]([ )( 1 ψ′ t ⋅ = f x)( d)( xxf ∴ ∫ +Φ= Cx − )]([ 1 ψ = Φ t][ + C )( 1 xt − = ψ )( d)()]([ 1 xt tttf − = = ′ ∫ ψ ψψ 则有换元公式 定理2 设
例1（课本例21）求∫Na2-x2dx(a>0). 解：令x=asint,t∈(-受，)，则 Va2-x2=Va2-a2 sin2t=acost dx acostdt X 原式=∫acostac0s1dt=a2cos21di -2(2m2)c sin21=2sintcost=2.a2-x a a arcsin-+ xVa2-x2+C 2 a 2 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 .)0(d22 − > ∫ axxa 解 : 令 ,),(,sin 22π π = ttax ∈ − 则 a x aa t 22222 − = − sin = a cos t = ax t dcosd t ∴ 原式 costa ∫ = ⋅ a t dcos t dcos tta 22 ∫ = = a ( ) + C 2 4 2sin 2 t t + a x 22 − xa t a x arcsin +−+ Cxax 22 2 1 2 2 a = t = t cossin22sin t = 2 a x ⋅ a xa 22 − ⋅ 例 1（课本 例21 ） 求
2(课本创2)本∫、+云 dx (a>0) 解：令x=atant,t∈(-受，罗)，则 Vx2+a2 =Va2tan21+a2 =asect dx asec-idt 原式=8d1=jd x2+a In sect+tant+C =20+a]+C =In[x+Vx2+a2]+C (C=C]-Ina) 2009年7月3日星期五 5 目录○ (上页> 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 .)0( d 22 > + ∫ a ax x 解 : 令 ,),(,tan 22π π = ttax ∈ − 则 22222 + = aax tan t + a = asec t dsecd ttax 2 = ∴ 原式 ∫ = a t 2 sec asec t d t dsec tt ∫ = 1 = + tansecln +Ctt a x 22 + ax t = ln [ 22 x + a a )ln( 1 [ ]+++= Caxx C = C − a 22 ln + x a ] + C1 例2 （课本 例22 ） 求