第四章 第四节儿种特殊类型岛数的积今 Integration of several kinds of Special Functions ·基本积分法：直接积分法；换元积分法； 分部积分法 求 ·初等函数 积分一初等函数（见本节第一段） 本节内容： 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第四节 几种特殊类型函数的积分 第四章 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 （见本节第一段） 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容: （Integration of several kinds of Special Functions ）
一、有理函数的积分 (Integration of Rational Function) 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数， P(x)aox"+ax++anix+an 2(x)boxmx+bmx+bm 其中m、n都是非负整数；ao,41,.,4n及b,b1,.,bm 都是实数，并且a≠0，b≠0. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、 有理函数的积分 (Integration of Rational Function) 两个多项式的商表示的函数 . m m m m n n n n bxbxbxb axaxaxa xQ xP ++++ + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 )( )( " " 其中 m 、 n都是非负整数； n , aaa 10 " 及 m , bbb 10 " 都是实数，并且 0 a 0 ≠ ， 0 b 0 ≠ . 有理函数的定义：
假定分子与分母之间没有公因式 (I)n<m,这有理函数是真分式； (2)n≥m,这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质： 1)利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和. 例如，我们可将 x3+x+1 x2+1 化为多项式与真分式之和 x2+11 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 假定分子与分母之间没有公因式 < mn ,)1( 这有理函数是真分式 ； ≥ mn ,)2( 这有理函数是假分式 ； 有理函数有以下性质： 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和 . 例如，我们可将 1 1 2 3 + ++ x xx . 1 1 2 + + x 化为多项式与真分式之和 x
2)在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式 A Ax+B (x-a) (x2+px+g)9 其中A,B,4,P,9都是待定的常数 k为正整数，p2-4q<0 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 k ax A − )( 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 其中 , qpaBA 都是待定的常数 . 最简分式是下面两种形式的分式 ; ( ) k qpxx BAx ++ + 2 04 2 k为正整数 ， qp <−
3)有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A A (x-0(c-++ x-0 其中A1,A2,.,A都是待定的常数. (2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 Mx+N M2x+N2 Mix+Nk 2+px++x2+m+++x+px+g 其中M,N,都是待定的常数(i=1,2,.,k) 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 （ 1 ）分母中若有因式 ，则分解后为 k − ax )( , )()( 1 1 2 ax A ax A ax A k k k − ++ − + − − " 其中 AAA k , 21 " 都是待定的常数 . 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律： （ 2 ）分母中若有因式 ，其中 k ( qpxx ) 2 + + 04 则分解后为 2 − qp < qpxx M x N qpxx M x N qpxx M x N k k k k ++ + ++ ++ + + ++ + 2 − 1 2 2 2 2 1 1 ( () ) " 其中 M Nii , 都是待定的常数 i = " k),2,1(