新课引入(Introduction) 在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法”。 但是，对于形如∫xe'd∫xInxdx,∫sinxdx,. 的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算。 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点 都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 新课引入 (Introduction) 在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了 “换元积分法 ” 。 但是，对于形如 ed; x x x ∫ x xx ln d ; ∫ x xx sin d ; ∫ "" 的积分用直接积分法 或换元积分法都无法计算 . 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点—— 都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分， 这就是另一个基本的积分方法：分部积分法
由导数乘法公式：(w)'=u'v+w' 积分得：w=∫uvdr+∫uw'dx →∫uw'dr=w-∫uvdx】 或∫dy=w-dM∫分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)∫vdr比∫uv'dr容易计算 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 )( ′ = ′ + vuvuuv ′ 积分得: = ′ + ′dd xvuxvuuv ∫ ∫ 分部积分公式 d dxvuuvxvu ∫ ∫ ′ −= ′ 或 d duvvuvu ∫ ∫ −= 1) v 容易求得 ; ′ ′ dd)2 xvuxvu ∫ 比 ∫ 容易计算 . 选取 ′ 或及 vvu 的原则:)d( 由导数乘法公式：
第四章 第三节分部积分法(Integration by Parts) 例1求xsinx dx. 解：令u=x,v'=Sinx, 则W'=1,v=-c0Sx ∴.原式=x(-cosx)-∫(-cosx)dr=-xCOSx+-sinx+C 另解：令u=snx,=x,则W=c0sxy= 小原成阳r皆j塔防 2 =. 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 第三节 分部积分法 第四章 （Integration by Parts ） x xx sin d . 例 ∫ 1 求 解 : 令 u = x , v x ′ = sin , 则 u′ = ,1 v x = −cos ∴ 原式 = − x x ( cos ) − −( cos ) d x x ∫ = − ++ x x xC cos sin 另解: 令 u x = sin , v x ′ = , 则 u x ′ = cos , 2 2 x v = ∴ 原式 2 sin 2 x = ⋅ x 2 cos d 2 x − x x ∫ =
例2求xInxdx.(课本例3) 解：令u=lnx,v'=x 则'=1 原式=血x-2xd i2mx-i.c 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 xxx .dln ∫ 解 : 令 = xu ,ln ′ = xv 则 , 1 x u′ = 2 2 1 = xv ∴ 原式 = ln xx 2 1 2 ∫ − dxx 2 1 +−= Cxxx2 2 4 1 ln 2 1 例2 求 （课本 例 3 ）
例3求xarctanxdx.(课本例4) 解：令u=arctanx,v'=x 则 1+r2v=x 2 .原式=x2 arctanx 2 arctan x- 2 arctanx- 2 (x-arctanx)+C 1 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 xxx .darctan ∫ 解 : 令 = xu ,arctan ′ = xv 则 , 1 1 2 x u + ′ = 2 2 1 = xv ∴ 原式 arctan xx 2 1 2 = ∫ + − x x x d 2 1 1 2 2 arctan xx 2 1 2 = ∫ + −− x x d) 1 1 1( 2 1 2 arctan xx 2 1 2 = )arctan( +−− Cxx 2 1 例3 求 （课本 例 4 ）