第五章 第二节 微积分基本公式 (Fundamental Formula of the Calculus) 一、变速直线运动中 位置函数与速度函数的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 2009年7月3日星期五 目录 、上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第二节 微积分基本公式 第五章 （Fundamental Formula of the Calculus ） 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、变速直线运动中 位置函数与速度函数的联系
一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[工，T,]内经过的路程为 0d1=2)-s） 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 在变速直线运动中, 已知位置函数 s t)( 与速度函数 v t)( 之间有关系 : s′ t = v t)()( 物体在时间间隔 ],[T T21 内经过的路程为 )()(d)( 12 2 1 TsTsttv T T −= ∫ 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 这里 是 tvts )()( 的原函数
二、积分上限的函数及其导数 定理1若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 Φ()=Jf0)dt Φ(x) 是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 证：x,x+h∈[a,b],则有 xg b x +-o）-f0d-f0a x+h h =f0M=f传x<<x+n .∵f(x)∈C[a,b] .Φ'(x)=lim D(x+h)-Φ()=1imf(5)=f(x) h-→0 h h→0 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 y = f x)( a b x o y Φ x)( x x + h ξ 二、积分上限的函数及其导数 f x ∈ C ba ,],[)( 则变上限函数 ∫ =Φ x a d)()( ttfx 证 : ∀ + ∈ bahxx ,],[, 则有 h Φ + Φ− xhx )()( 1 [ h = ( )d ( )d ] x h x a a f t t f t t + − ∫ ∫ ) 1 ( x h x f t dt h + = ∫ = f ξ )( ( x < ξ < x + h ) h x h x h )()( lim0 Φ + − Φ = → )(lim0 f ξ h → ∴ Φ′ x)( = = f x)( 定理1 若 在是 baxf ],[)( 上的一个原函数. ∵ f x ∈ C ba ],[)(
说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)变限积分求导： d0d-fdau-f1eoow r0ad&wfndi-oay] 例1（补充题）求lim x-→0 8 解：原式=-lime(←sin 0=1 x-→0 2x 2e 2009年7月3日星期五 4 、目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导 : ∫ b x ttf x d)( d d = − f x)( ∫ )( d)( d d x a ttf x ϕ = f ϕ ϕ′ xx )()]([ 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ∫ )( )( d)( d d x x ttf x ϕ ψ ⎥⎦ ⎤ + ⎢⎣ ⎡ = ∫∫ )( )( d)( d)( d d x a a x ttfttf x ϕ ψ 0 lim x → te x t d 1 cos 2 ∫ − 说明 : 2 x 例 1（补充题） 求 0 0 )sin( 2 cos e x x −⋅ − 0 lim → 解 : 原式 = − x 2 x 2 e 1 =
例2已知F(x)=V+tdt,求F'(x). 提： J“fo0d=f几owpw) 例3已知F(x)=∫V+d,求F'(x). 提示： grodr-d[wmavm"fma] 2009年7月3日星期五 5 目录 (上页下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 2 已知 2 0 () 1 d x Fx tt = + ∫ ，求 F x ′( ) ． 提示： d ( ) ( )d d a x f t t x ϕ ∫ = f x [() ϕ ] ϕ′( x ) 例 3 已知 2 sin () 1 d x x Fx tt = + ∫ ，求 F′( ) x ． 提示： ∫ )( )( d)( d d x x ttf x ϕ ψ ⎥⎦ ⎤ + ⎢⎣ ⎡ = ∫∫ )( )( d)( d)( d d x a a x ttfttf x ϕ ψ