江画工太猩院 arctan 例8求积分」 1+x 解∵(1+x2 +x arctan de=arctanxdv1+x 2 1+x v1+x'arctanx- 1+x'd(arctan) =1+x2 arctanx-」1+x2,2 1+x
江西理工大学理学院 例8 求积分 ∫ + . 1arctan2 dx x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + =′ Q + ∫ + ∴ dx x x x2 1arctan ∫ = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x ∫ = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − + ⋅ ∫
江画工太猩院 √1+x2 arctan x √1+x2 令 x= tant sec tdt= sectdt √1+x I+tant In(sect+tant)+C=In(x+ 1+x)+C xarctanx /1+r =√1+x2 arctan x.-ln(x+√+x2)+C
江西理工大学理学院 dx x x x ∫ + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x ∫ + 2 1 1 ∫ + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1 ∫ = sectdt = ln(sec t + tant) + C = ln( x + 1+ x ) + C 2 ∫ + ∴ dx x x x2 1arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C
江画工太猩院 arctan 解二对积分 dx用三角代换 1+x a x=tant, t= arctan x dx=sec tdt tant·t tsin t 原式=∫ sec tdt sect cos t tcos td( cost)= td(cos"'t) +x d t coSt°cost cost secto tdt -In sect tant +c cost =arctan 1+x-In 1+x+x+c
江西理工大学理学院 对积分 ∫ 用三角代换 1 + arctan2 dx x x x 解二 令 x t t x dx tdt 2 = tan , = arctan , = sec 原式 dt t t t tdt tt t ∫ = ∫ ⋅ = 2 2 cossin sec sec tan t 1 x cos ( cos ) (cos ) 2 1 t td t td t ∫ ∫ − − = − = = − ∫ = − ∫ tdt t t dt t t t sec cos cos 1 cos t t C t t = − ln |sec + tan | + cos = (arctan x) 1 + x − ln | 1 + x + x | +C 2 2 2 1 + x
江画工太猩院 例9已知(x)的一个原函数是c,求y(xt 解∫y( (x)dx=xd(xy(x)j/( f(r dx =f(x),: f(r dr=e+C, 两边同时对求导,得∫(x)=-2xe, rf(r cx=xf(x )-If(x dx exe e +c
江西理工大学理学院 例9 已知 f (x)的一个原函数是 2 x e− , 求∫ xf ′(x)dx. 解 ∫ xf ′(x)dx ∫ = xdf (x) ( ) ( ) , ∫ = xf x − f x dx ( ) , 2 ∫ ∴ = + − f x dx e C x ( f (x)dx) = f (x), ′ Q ∫ 两边同时对 求导 x , 得 ( ) 2 , 2 x f x xe− = − ∴ ′ = ∫ xf (x)dx ∫ xf (x) − f (x)dx 2 2 2 x x e− = − . 2 e C x − + −