中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter1（3）方向导数与梯度

2.的存在定理 若z=f(x,y)在P(x,y)可微, 则函数在该点沿任一方向L的方向导数存在,且 ∫xc0sa+jyc0sB, 其中cosa,cosB为方向/的方向余弦 Proof..∵:z=∫(x,y)可微, Az=fx△x+J4y+O(P) +4,0) K

2. 的存在定理 l f   若z = f (x, y)在P(x, y)可微, 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且 cos cos  , x y f f l f = +   其中cos ,cos 为方向l的方向余弦.    Proof. z = f (x, y)可微, z f x f y o(),  = x + y + , ( )      y o f x f z x y +  +  =  o x y P  P1  x y

△ fxc0sa+f,c0s月+ .O P 0-tox cos a+fy cosB+p) im=lim[f alx cosa+f, cos B 由于a+B=土 元 从而有=0+ f sin p 其中p=a为方向与x轴正向的夹角

, ( ) cos cos      o f f z = x + y +  ], ( ) lim lim[ cos cos 0 0        o f f z = x + y +  → → cos cos  . x y f f l f = +    , 2  由于 +  =  cos sin. x y f f l f = +   从而有 其中 为方向l与x轴正向的夹角.   =