2 3 1 1-6 1 1 1 2 9 18 1 2 二32 3 9 9 3 Pi. 1-2 1 3 6 可以验证，此时有 Pi=Pi.P.j （i=1,2,3;j=1,2） →X与Y相互独立
ij i j p p p = (i j = = 1, 2, 3 1, 2 ； ) 可以验证，此时有 X Y 与 相互独立． X Y 1 2 3 1111 1 6 9 18 3 1 2 1 2 2 3 9 9 3 111 2 3 6 j i p p
补例设随机变量X和Y相互独立，并且X服从N(a,σ2)， Y在一b,b]上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度. 解 fx(x)= ,-0<X<0; 2πo f(0)= 2b' -b≤y≤b, 0,其他 而X与Y相互独立， 所以f(x,y)=fx()·f,(y) 1e2w,四<x<0,-bsy≤ 2bV2πo 0 其他
2 , ( , ), [ , ] , ( , ) . X Y X N a σ Y b b X Y − 设随机变量 和 相互独立 并且 服从 在 上服从均匀分布 求 的联合概率密度 补例 解 而X 与Y 相互独立, 2 2 ( ) 2 1 ( ) , ; 2 x a σ X f x e x σ − − = − 1 , , ( ) 2 0, Y b y b f y b − = 其他 2 2 ( ) 2 1 1 , 2 2 0 , x a σ e x b y b b σ − − − − = ， 其他 ( , ) ( ) ( ) X Y 所以 f x y f x f y =
定理二维正态变量X,Y独立一P=0. 维正态随机变量(X,),它的概率密度为 1 f(x,y)= 2πo1o2V1-p o-n-} :ep121-p7 0102 -00<x<00,-0<y<0, 其中41,2,01,02，p都是常数，且01>0,02>0，-1<p<1. _(x-A)2 1 e ai,-05x5 fx心)=2mG 1。 (0y-42)2 e2，-0<y<o. √2π02
二维正态随机变量( , ) X Y ，它的概率密度为 − − x y , , 1 2 1 2 1 2 其中 μ , , , , , 0, 0, 1 1. μ σ σ ρ都是常数 且 σ − σ ρ 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( , ) 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ) exp 2 2(1 ) f x y σ σ ρ x μ x μ y μ y μ ρ ρ σ σ σ σ = − − − − − − − + − 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) , . 2π y μ σ Y f y e y σ − − = − 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) , . 2π x μ σ X f x e x σ − − = − 定理 二维正态变量X Y, 0. 独立 = ρ
例.一负责人到达办公室的时间均匀分布在812 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时， 设他们两人到达的时间相互独立，求他们到达办 公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时)的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间， 由假设X和Y的概率密度分别为 人am- 1/2,7<y<9, 由于X,Y相互独立，f(x,y)=fx(x)fr(y) =1V/8,8<r<2,7<y<9, 0,其它
解 设 X Y 和 分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 例. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟（1/12小时）的概率. 由假设 X Y 和 的概率密度分别为 1 4, 8 12, ( ) 0, , X x f x = 其它 由于 X Y, , 相互独立 ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y = 1 8, 8 12,7 9, 0, . x y = 其它 1 2, 7 9, ( ) 0, , Y y f y = 其它