复变函数二、对数函数1.定义满足方程ew=z(z≠O)的函数w=f(z)称为对数函数记为W=Lnz = Inz+iArgz由于Argz为多值函数,所以对数函数w=f(z)也是多值函数，并且每两值相差2元的整数倍u
11 二、对数函数 1. 定义 , Ln ln Arg . ( 0) ( ) w z z i z e z z w f z w = = + = = 称为对数函数 记 为 满足方程 的函数 , 2π . Arg , ( ) 也是多值函数 并且每两值相差 的整数倍 由 于 为多值函数 所以对数函数 i z w = f z
复变函数如果将Lnz=Inz+iArgz中Argz取主值argz,那未Lnz为一单值函数,记为lnz,称为Lnz的主值Inz=Inz+iargz其余各值为Lnz=Inz+2k元i(k =±1,±2,)对于每一个固定的k，上式确定一个单值函数称为Lnz 的一个分支特殊地，当z=x>0时,Lnz的主值lnz=Inx,是实变数对数函数u
12 如果将Lnz = ln z + iArgz中 Argz 取主值arg z, 那 末Lnz 为一单值函数，记 为ln z，称 为Lnz的主值. ln z = ln z + i arg z. 其余各值为 Lnz = ln z + 2ki (k = 1,2, ), Ln . , , 称为 的一个分支 对于每一个固定的 上式确定一个单值函数 z k 特殊地, . 0 ,Ln ln ln , 是实变数对数函数 当z = x 时 z的主值 z = x
复变函数例4 求Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值解因为 Ln2 =In2+2k元i所以Ln2的主值就是In2.因为 Ln(-1) = ln1 +iArg(-1)=(2k＋1)元i(k为整数)所以Ln(-1)的主值就是元i.注意：在实变函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广U
13 例4 解 求 Ln2, Ln(−1)以及与它们相应的主值. 因为 Ln2 = ln2 + 2ki, 所以Ln2的主值就是 ln2. 因为 Ln(−1) = ln1+ iArg(−1) = (2k + 1)i (k为整数) 所以Ln(−1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广
复变函数例5解方程 e-1~3i=0解因为 e=1+ /3i.所以 z=Ln(1+/3i)元= In1 + /3ili+i+2k元一3元= ln2+ i+2k元1(3(k =0, ±1, ±2,)u
14 例 5 解 e −1− 3i = 0. 解方程 z e 1 3i, z 因为 = + 所以 z = Ln(1 + 3i) + = + i + i 2 k 3 ln1 3 + = + i 2 k 3 ln 2 (k = 0, 1, 2,)
复变函数例6求下列各式的值：(2)Ln(3 - ~/3i);(1)Ln(-2 + 3i);(3)Ln(-3)解(1)Ln(-2 + 3i)= In2+3i+iArg(-2+3i)3=ln13+i元-arctan=+2k元22(k = 0, ±1, ±2,.)u
15 例 6 解 (1)Ln( 2 3 ); (2)Ln(3 3 ); (3)Ln( 3). : − + i − i − 求下列各式的值 (1)Ln ( − 2 + 3 i ) = ln − 2 + 3i + iArg(−2 + 3i)2 . 23 ln13 arctan 21 = + i − + k (k = 0, 1, 2,)