复变函数(1) ei-2z = ei-2(x+iy)= e-2x+i(1-2y)ei-2z= e-2x:(2) e = e(x+i) = e+-y2+2xyie= e--y';IX+i2Fex+yixx-+y(3) ez =e二X1y2Re(e")= e**+ycos22x2+yu
6 i z e 2 (1) − i 2( x iy ) e − + = , 2x i(1 2 y) e − + − = ; i 2z 2 x e e − − = 2 (2) z e 2 ( x iy) e + = , 2 2 2 x y xyi e − + = ; 2 2 2 z x y e e − = = z e 1 (3) x yi e + 1 , 2 2 2 2 x y y i x y x e + − + + = Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z + = +
复变函数例2求出下列复数的辐角主值：(1)e2+i; (2)e2-3i; (3)e3+4i; (4)e-3-4i; (5)eiα -eiB(0≤β<α≤2元)解因为e"=e+i =e*(cos y+isin y)的辐角(k为整数)Arge" = y+2kπ其辐角主值arge为区间(-元,元内的一个辐角arge2+i = l;(1) Arge2+i =1+2k元,2-3i(2)Arge2-3i = -3 + 2k元,3i = -3;argeU
7 例2 解 求出下列复数的辐角主值: (0 2π). (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 2 2 3 3 4 3 4 − + − + − − i i i i i i e e e e e e 因为e e e (cos y isin y)的辐角 z x iy x = = + + Arge y 2k (k为整数) z = + 其辐角主值arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2 = + + e k i arg 1; 2 = +i e (2) Arg 3 2 , 2 3 = − + − e k i arg 3; 2 3 = − − i e
复变函数(3)e3+4i.Arge3+4ie3+4i=4-2元;=4+2k元， arge(4)e-3-4i:Arge-3-4iarge-3-4i = -4 + 2元;i=-4+2k元，(5)eiα -eip = cosα + isinα -(cos β+ isin β)=(cosα -cos β)+i(sinα - sin β)α-βα+βα+βα-β+ 2icos=-2sinsinsin2222α-βα+βα+β 2sin=sin+icos222U
8 Arg 4 2 , 3 4 = + + e k i arg 4 2 ; 3 4 = − + i e Arg 4 2 , 3 4 = − + − − e k i arg 4 2 ; 3 4 = − + − − i e i i (5)e − e (3) ; 3 4i e + (4) ; 3 4i e − − = cos + isin − (cos + isin ) = (cos − cos ) + i(sin − sin ) 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2sin + − + + − = − i + + + − − = 2 cos 2 sin 2 2sin i
复变函数π+α+β元+α+βα-β= 2sin+isincos222α-β因为0≤β<α≤2元，sin>0,2上式就是复数eiα-eiβ 的三角表示式所以 Arg(eiα-e'P)=π+α+β+ 2k元,2π+α+β当α+β≤时,arg(eiα一eiβ)=2元+α+β当α＋β>时,arg(eiα-ei)=2元2U
9 + + + − + + = 2 π sin 2 π cos 2 2sin i 因为 0 2π, 0, 2 sin − 上式就是复数 的三角表示式. i i e − e Arg( ) i i 所以 e − e 2 π, 2 π + k + + = 当 + π时, arg( ) i i e − e , 2 π + + = 当 + π时, arg( ) i i e − e 2π. 2 π − + + =
复变函数N例3 求函数 f(z)=es 的周期.解e的周期是2k元i.z+10k元iNZ.+2k元if(z) =es =e55=e= f(z +10k元i),N故函数 f(z)=e5的周期是10k元i.1
10 例3 求函数 ( ) 5 的周期. z f z =e 解 e 2k i, z 的周期是 5 ( ) z f z =e k i z e + = 2 5 5 z 10k i e + = 故函数 f (z) e5 的周期是10k i. z = = f ( z + 10 k i)