第五章留数及其应用留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物.本章首先以洛朗级数为工具，先对解析函数的孤立奇点进行分类，再对它在孤立奇点邻域内的性质进行研究而后引进留数的概念，介绍留数的计算方法以及留数定理，利用留数定理可以把计算沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数.利用留数定理还可以计算一些定积分的广义积分，从而用复变函数的方法解决某些用高等数学中方法难以解决的积分计算问题,$5.1孤立奇点85.1.1孤立奇点的分类定义5.1f（)在&处不解析,但在z。的某一个去心邻域0<一内处处解析.则称。为f()的班立奇点例5.1一0是函数）=一的孤立奇点1例 5. 2 2)=i 和 2:=-1 是函数 (2)=(≤-1(α+1)的两个孤立奇点.7二是它的孤立奇点，n=1,2，…但设f(）=例5.312nTsin之父一0是奇点而不是孤立奇点，因在之二0的任何邻域中，总有形如一的奇点，ZHn元
85.1孤立育点.105-+C(-z)++(-2)m+(—g)m0(z),在这里)是一个在|一<内解析的函数，并且)≠0.反之，如果函数F）在0<一21内可以表示成（5.1)右边的形状，而）是在|一内解析的函数，并）0（gz）-m），那么不难推出：2。是（z）的m阶极点，即zZ是f（z）的m阶极点的充要条件是：1f()-(- o)e),(5. 1)其中)在处解析且≠0.由（5.1)可以证明：定理5.2设函数f（）在0<1z-对8(0<≤+×）内解析，那么z是（）的极点的充分必要条件是limf（）=是（）的m阶极点的充分必要条件是：lim（2一z.）"f（z）=C-班，在这里m是一正整数，C-是一个不等于0的复常数，定理5.1及定理5.2的充要条件可以分别说成是存在有限或无穷的极限limf（z）.结合这两定理，我们有：定理5.3设函数（）在0<z(0<≤+×)内解析.那么是f（）的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷的极限limf(z).40例 5.4研究函数in=的孤立奇点的类型。2例由于分子函数sin和分母函数都在全平面为解析，因此这个函数的孤立奇点只有分母的零点，即之=0.函数i“在0<<+的洛朗展开式为sinz+心(- 1)"2n3！+5！2(2n+ 1)!
第五章·106留数及其应用是sin的可去奇点，级数的负次幂系数均为0，故&一0是sin的可去奇这里，我们顺便得到一个重要的极限.因为之一0是之,sin有有限极限.这个极限就是上面展开式中的常点，故当名一→0时，2数项.故得sinzlim120-0例5.5研究函数f(z）(-1)(-2)的孤立奇点类型。解显然=1和之=2是函数，）的两个孤立奇点，并且在之一1和=2附近可以表示成1(2 2)2f(z) =f(z) :(2-2)22-1而（—2)在z=1的邻域内为解析，且在=1取值不是0.故知α=1为（）的阶极点；同样，函数一在一2的邻域内为解析，且在一2取值不是0.故知=2为（）的二阶极点例5.6研究函数e一的孤立奇点的类型.解因为函数e在全平面除去点&一1的区域.上为解析.所以2=1是它的惟一的孤立奇点.将e在0<[2—1|<十展开为洛朗级数，得到e1+=++ 2*+ + n-) +..此级数含有无限多个负次幂项，故之1是函数e一的本性奇点，85.1.2函数的零点与极点的关系定义5.2若f()=(—20"))在z处解析,且z0
85.1雍立奇点.107.m为某一正整数，那么称为f（）的m阶零点例5.7根据定义5.2.易知~=0与=1分别是函数f（z）一2（一1）的-阶与三阶零点定理5.4若f（）在z解析.那么之为/（）的m阶零点的充要条件是f)(z)=0,(n=0.1,.m-I).fm(zu)±0.(5.2)证若是（）的m阶零点.那么f（）可表成f(z)=(2—2,)m().设以）在的泰勒展开式为0(z) -C+(22) +C( 2)2 + .其中C一）≠0.从而f（）在，的泰勒展开式为f(2) C(z2)"—C( )+2(-2)+,这个式子说明，（）在之的泰展开式的前m项系数都为零.由泰勒级数的系数公式可知.这时（2,）0,（n=0,1，,m一1），而f(m)(zn)C。子0.这就证明了（5.2）是，为f（z）的m阶零点的必要条m1件.充分条件由读者自己证明例5.8已知±=1是f（）=21的零点.由于（1）321-）=3≠0，从而知=1是f（）的一级零点，顺便指出，由于（）（一）"（）中的（）在解析，p（）0,因而它在的邻域内不为0.所以）=（一））在z的去心邻域内不为零，只在等于零，也就是说，一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.函数的零点与极点有下面的关系：1定理5.5如果是f（）的m阶极点，那么z。就是的m阶()零点，反之亦然
第五章留数及其应用: 108 +证若2是fz）的m阶极点，根据（5.1）式，便有1f(c)=(α-),其中在解析，且以）0.所以当时，有11F(z) = ( 一 z)mz) (α - z)n(α).(5.3)函数）也在解析，且2）0.由于1lim m () = 0,-因此，我们只要令）=0，那么由（5.3)知z是（)的m阶零点f(20)1反过来,如果≥。是)的m阶零点，那么1F() = (z -zn)"g(2),这里g（）在2解析，并且g（）≠0由此、当半。时，得1F(z) = (α -kojmh(e).1而h(x)二在2。解析，并且h（）手0，所以z是f（）的m阶极点g(z)这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的阶。例5.9次sinz1解函数的奇点显然是使sin之=0的点.这些奇点是2k元sin（k=0，±1，士2，）且为孤立奇点.由于(sin z)"lcoszl==(—1)*0(k=0,±l,),1所以=k都是sin的一阶零点，也就是的一阶极点，sinz$5.1.3函数在无穷远点的性态在考虑解析函数的孤立奇点时把无穷远点放进去，这有许多便利