第六章共形映射前面儿章主要是运用分析的法（如微分、积分、级数展开等）来讨论复变解析函数的性质和应用而从几何的观点来看，一个复变函数一）实际上给出了之平面上的一个点集到平面上一个点集的映射研究这种映射关系，可以使我们对解析函数有更深刻的认识.本章主要讨论由解析函数构成的共形映射及其一些重要特征，重点讨论由分式线性丽数构成的映射.共形映射在解决流体力学、电磁学、传热学等实际问题中，发挥了重要的作用86.1共形映射的概念探讨复变函数映射的几何特性，首先是要并清楚复平面上的一个点集（曲线或者区域）与它的像集之间的对应关系.我们知道，在单变量实函数中，导数被用来刻画因变量相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何意义.那么，一个复函数的导函数将会刻画什么样的关系呢？又有什么样的几何意义呢？86.1.1导函数的几何意义在讨论导函数的几何意义之前，我们要先给出两个概念，用来描述像曲线与原曲线之间的变化特征1、伸缩率与旋转角如图6.1.C是z平面上过20点的曲线，经函数w一f（z）映射为平面上过Wo点的曲线r其中一f（）在曲线C上点附近任取①某些书中称为“保形映射
·136.第六章共形映射一点=+一十e则在曲线上有对应的点十W十△e显然当|之一较小时.w一与一，的比值近似地反映了曲线C在点附近经函数=（）映射后被拉仰或者被压12-.缩的倍数.特别地，当沿曲线（趋向于点时.若lim存在、之-一名：则此极限值称为用线经函数=（）映射后在处的伸缩率Wo+AWZo+AzIc01P0A0O图 6. 1另一方面，设曲线C在处的切线倾角为，曲线在说处的切线倾角为，则9一。称为曲线C经两数f(z）映射后在处的旋转角，它刻画了由曲线C在。处的切线转动到曲线F在处的切线所需转过的角度可以看出，伸缩率与旋转角完全描述了在W=）映射下曲线F相对于曲线C的变化特征下面我们将看到，当函数一f（）解析时这两个特征可以由导数的模与辐角定量给出。2.伸缩率不变性现假设函数=f（）在区域D内解析，ED，月且f（）0.采用前面的记号，并由导数的定义可得Ajeis[Aw]Aegf(%)= lim-limlim(6.1)TAzJe'630A2142A2-0因此有15(2,)/ = lim z0l*014z/
6.1共形映射的概念137根据伸缩率的概念可知，导数的模！（，），实际上就是曲线（经函数=）映射后在z处的他缩率，由于函数=（）可导因此（）只与有关，而与曲线（本身的形状和方向无美，即对经过点的任何曲线（经=f（）映射底在之点均有相同的伸缩率，因此称这种映射具有伸缩率不变性，3.旋转角不变性与保角性式（6.1)还可得argf'(2.) -- lim(g--) g. -0..(6.2)同样根据旋转角的概念可知，导数的辐角arg（zn）就是线（经函数=（）映射后在处的旋转角，它也与曲线C本身的形状与方向尤关.因此称这种映射具有旋转角不变性另外，设在区域I)内还有一条过之。点的曲线（（图6.1），经函数改一f（）映射后的线为，且（"在2处的切线倾角为0，F在w处的切线倾角为9，则有argf'(2) = 9 -- 0).(6.3)由式（6.2）与（6.3)得9---即这种映射保持了两条典线的交角的大小方向不变，称此性质为保角性，特别指出的是（）≠0是必要的，否则保角性将不成立例6.1求两数一3在-i与z=0处的导数值，并说明其几何意义，解函数t一（）=在整个复平面是解析的.其导函数为f(z)=32*.（1）对z=i，f（i）=3=3e.因此映射=在2=i处具有保角性且伸缩率不变.其伸缩率为3，旋转角为元.（2）对22=0，（0）=0，从图6.2中可以看出，映射元在=0处不具有保角性
第六章共形映射·138 :VY36eTxu00cr图6.26.1.2共形映射的概念定义6.1对于定义在区域L)内的映射=f(z).如果它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称双一（）是第一类保角映射，如果它在D内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称一f（2）是第二类保角射，根据前面的讨论，可得下面的定理。定理6.1设函数f（2）在区域D内解析，且f（z）子0.则它所构成的映射是第一类保角映射。关于第二类保角映射，我们通过下面的例子给出简单的说明例6.2考察函数=之所构成的映射，解对于复平面上的任意一点z，有[z-z0][w-wlim=lim一1（即极限存z-2o112一2在），因此映射一之具有伸缩率不变性；又由于饥一之是关于实轴对称的映射，因此它使得曲线的交角的大小不变但方向0相反（图6.3）.根据定义可知，函数8二2是第二类保角映射.定义6.2设=f（z）是区域D内的第一类保角映射.如果当之子22时，有图 6.3f(z)半f(z),则称f(z)为共形映射
6.2共形映射的基本问题.139.例6.3考察函数元=e构成的映射，解由于w=e在复平面上解析粗（e）≠0，因此它在任何区域内均构成第一类保角映射，但它不一定构成共形映射，如在区域0<Im 2<4元内，取z21一号i，22=（2元+i，则c=e=i,因此不构成共形映射.而在区域0<Im之<2元内.二e是共形映射，因此，共形映射的特点是双方单值且在区域内每一点具有保角性和伸缩率不变性，86.2共形映射的基本问题根据理论和实际应用的需要，对于共形映射，我们主要研究两个方面的问题，问题一对于给定的区域I和定义在D的解析函数=（）求像集G=f(D），并讨论f（）是否将D共形地映射为G问题二给定两个区域D和G，求--解析函数Wf（z）.使得f）将D共形地映射为G其中第二个问题称为共形映射的基本问题，它更具有实用价值，但也更为困难，本节对这两个问题只给出一般性的理论描述，具体求解将在后面的几节中进行.另外，本节中所涉及的有关定理的证明均较为复杂，故从略，实际上，对于问题二，我们只需考虑能把1变为单位圆内部即可。这是因为若存在丽数=（）把D变为<1，而函数=g（u）把G变为/l<1,则w=g-1(f(z))把D映射为G(图6.4)5=g(w)5=f(2)W=g-(5)图 6.1