一元函数微分学小结 一、 导数 概念、几何意义、 公式、求导法则 二、微分 概念、几何意义、可导与可微、 一阶微分形式的不变性
3 一元函数微分学小结 一、导数 概念、几何意义、 公式、求导法则 二、微分 概念、几何意义、可导与可微、 一阶微分形式的不变性
第四节 导数的应用 一、Lagrange(拉格朗日)中值定理 定理2-4如果函数y=f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则在开区间(a,b)内至 少存在一点5，使f(b)-f(a)=f'(5)b-a5∈(a,b) 或 f(5)=f6)-fa b-a 5∈(a,b) 21 B 几何解释y=f(x)在[a,b]内图形 如图，A(a,f(a),B(b,f(b), k(b)-f(a),kes=f() b-a k制线AB=kc切→割线AB/C点切线 a bx
4 第四节 导数的应用 一、Lagrange(拉格朗日)中值定理 定理2-4 如果函数y f x = ( )在闭区间 [ , ] a b 上连续,在开区间( , ) a b 上可导,则在开区间( , ) a b 内 至 少存在一点，使 f b f a f b a a b ( ) ( ) ( )( ) ( , ) − = − 或 ( ) ( ) ( ) ( , ) f b f a f a b b a − = − 几何解释 y f x = ( )在[ , ] a b 内图形 如图,A a f a ( , ( )),B b f b ( , ( )), f b f a ( ) ( ) k b a − = − 割线A B ， ( ) C k f 切 = C k k 割线A B = 切 割线ＡＢ//C点切线 y o x A C B a b
●●● 推论1x∈(a,b),若有f'(x)=0,则f(x)=c(c为常数3 证明、 x<x2∈(a,b),则f(x)在[x,x2]上可导 故f(x)在[x,x2]上连续，在(x,x2)可导 于是，由Lagrange中值定理。有 f(x2)-f(x)=f"(5)x2-x),5∈(xx2) 由f'(5)=0,则f(x2)-f(x)=0 即 f(x)=f(x2) 所以 f(x)=c 推论2、 x∈(a,b),若有f'(x)=g'(x),则f(x)=g(x)+c (c为常数) 证明 令 F(x)=f(x)-8(x) 则 F'(x)=f'(x)-g'(x)=0 由推论1 F(x)=c,即 f(x)=8(x)+c
5 推论1 x a b ( , ),若有 f x ( ) 0 = ,则 f x c ( ) = (c为常数)。 证明 1 2 x x a b ( , )，则 f x( )在 1 2 [ , ] x x 上可导 故 f x( )在 1 2 [ , ] x x 上连续，在 1 2 ( , ) x x 可导 于是，由Lagrange中值定理。有 2 1 2 1 1, 2 f x f x f x x x x ( ) ( ) ( )( ), ( ) − = − 由 f ( ) 0 = ，则 2 1 f x f x ( ) ( ) 0 − = 即 1 2 f x f x ( ) ( ) = 所以 f x c ( ) = 推论2 x a b ( , ),若有 f x g x ( ) ( ) = ,则 f x g x c ( ) ( ) = + （c为常数) 证明 令 F x f x g x ( ) ( ) ( ) = − 则 F x f x g x ( ) ( ) ( ) 0 = − = 由推论1 F x c ( ) = ，即 f x g x c ( ) ( ) = +
例1.验证f(x)=lnx在[L,e]上Lagrange中值定理的正确件 证明 因为f(x)=lnx为基本的初等函数，其定义域为 (0,+o0),故f(x)在(0，+0)上连续， 从而在L,e上连续，f(x)=】,故fx)在Le)上可导， f(e)-f)=f'(5)e-1) 即 e-=1枚=e-1ee. 所以，f(x)=lnx在[l,e]上Lagrange中值定理是正确 的
6 例 1．验证 f x x ( ) ln = 在[1, ] e 上 Lagrange 中值定理的正确性。 证 明 因 为 f x x ( ) ln = 为基本的初等函数，其定义域为 (0, ) + ,故 f x( )在(0, ) + 上连续， 从而在[1, ] e 上连续， 1 f x( ) x = ,故 f x( )在(1, ) e 上可导， f e f f e ( ) (1) ( )( 1) − = − 即 1 ( 1) 1 e − = ，故 = − e e 1 (1, )， 所以， f x x ( ) ln = 在[1, ] e 上 Lagrange 中值定理是正确 的
例2.试证x>0时，x<ln1+x)<x 1+x 证明设f(x)=ln(1+x),因为f(x)为初等函数，其定义域为 (-1,+o),故f(x)在[0，x]上连续。 又)=+文放f@L可导，则 f(x)-f(0)=f'(5)(x-0),5∈(0，x) 即lnI+)=1+ 1 -X, 所以 X =X 1+x1+51+0 从而，x>0时，，x<nl+)<x 1+x
7 例 2.试证 x 0时, ln(1 ) 1 x x x x + + 证明 设 f x x ( ) ln(1 ) = + , 因为 f x( )为初等函数,其定义域为 ( 1, ) − + ,故 f x( )在[0, ] x 上连续。 又 1 ( ) 1 f x x = + ，故 f x( )在(0, x)上可导,则 f x f f x x ( ) (0) ( )( 0), (0, ) − = − 即 1 ln(1 ) 1 x x + = + ， 所以 1 1 1 0 x x x x x = + + + 从而,x 0时， ln(1 ) 1 x x x x + +