三) 极值求法 1.函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数 (1)求z=f(x,y)的一切驻点，即 f(x,y)=0 f(x,y)=0 的所有实数解； (2)对于每一个驻点，求出A,B,C值，并利用定理4-4 判别驻点是否为极值点； (3)求出极值点的函数值，即得所求的极值； 8
8 （三）极值求法 1．函数z f x y = ( , )具有二阶连续偏导数 (1)求z f x y = ( , )的一切驻点，即 ( , ) 0 ( , ) 0 x Y f x y f x y = = 的所有实数解； (2)对于每一个驻点，求出A B C , , 值，并利用定理 4-4 判别驻点是否为极值点； (3)求出极值点的函数值，即得所求的极值；
例1.求函数fx,y)=x-y+3x2+3y-9x的极值。 解解方程组 f(x,y)=3x2+6x-9=0 f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2)， fx(x,y)=6x+6,f(x,y)=0,f"(x,y)=-6y+6, 列表讨论如下 (Xo2 o) A B C B2-AC f (Xo2Yo) (1,0) 12 0 6 -72 极小值-5 (1,2) 12 0 -6 72 不是极值 (-3,0) -12 0 6 72 不是极值 (-3,2) -12 0 -6 -72 极大值31 9
9 例 1．求函数 3 3 2 2 f x y x y x y x ( , ) 3 3 9 = − + + − 的极值。 解 解方程组 2 2 ( , ) 3 6 9 0 ( , ) 3 6 0 x Y f x y x x f x y y y = + − = = − + = 得驻点(1,0),(1,2),( 3,0),( 3,2) − − , f x y x xx ( , ) 6 6 = + , f x y xy ( , ) 0 = , f x y y yy ( , ) 6 6 = − + , 列表讨论如下 0 0 ( , ) x y A B C 2 B AC − 0 0 f x y ( , ) (1,0) 12 0 6 -72 极小值-5 (1,2) 12 0 -6 72 不是极值 ( 3,0) − -12 0 6 72 不是极值 ( 3,2) − -12 0 -6 -72 极大值 31
例2求函数f(x,y)=Vx2+y2的极值 解 得(0,0)，但在(0,0)点处偏导数不存在，故(0,0)点不是 驻点。显然(x,y)∈U(0,0),都有f(x,y)>0=f(0,0), 所以函数在偏导数不存在的(0,0)点取得极小值 f(0,0)=0。 10
10 例 2 求函数 2 2 f x y x y ( , ) = + 的极值 解 令 2 2 2 2 ( , ) 0 ( , ) 0 x y x f x y x y x f x y x y = = + = = + ， 得(0,0),但在(0,0)点处偏导数不存在，故(0,0)点不是 驻点。显然 ( , ) ((0,0)) x y U ，都有 f x y f ( , ) 0 (0,0) = ， 所 以 函 数 在 偏 导 数 不 存 在 的 (0,0) 点 取 得 极 小 值 f (0,0) 0 =
2. 最值 (1)由有界闭区域连续的二元函数，一定存在最大值M, 最小值m。 设z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，求M,m,先求 z=f(x,y)出在D上的所有驻点的函数值及D的边界上的 最大值，最小值，然后进行比较，最大者为最大值M, 最小者为最小值m。 例3.求f(x,y)=√4-x2-y2在圆域x2+y2≤1上的最大值。 f(x,y)=- -X =0 解 令 V4-x2-y2 ,得驻点(0,0) fx,04--y =0
11 2．最值 (1)由有界闭区域连续的二元函数，一定存在最大值M ， 最小值m。 设z f x y = ( , )在有界闭区域D上连续，求M m, ，，先求 z f x y = ( , )出在D上的所有驻点的函数值及D的边界上的 最大值，最小值，然后进行比较，最大者为最大值M ， 最小者为最小值m。 例 3．求 2 2 f x y x y ( , ) 4 = − − 在圆域 2 2 x y + 1上的最大值。 解 令 2 2 2 2 ( , ) 0 4 ( , ) 0 4 x y x f x y x y y f x y x y − = = − − − = = − − ，得驻点(0,0)
f(0,0)=2 x2+y2=1上的函数值f(x,y)=V3.2>√3，故f(x,y)在 (0,0)点处取得最大值f(0,0)=2。 (2)实际问题 由实际问题本身，知道函数f(x,y)在区域D内有最 大值（或最小值），又f(x,y)在D内有唯一驻点，那么 驻点的函数值就是f(x,y)在D上的最大值（或最小值) 不必检验。 例4.要制作一个容量V为的长方体箱子，问如何选择 尺寸，才能使所用的材料最少？ 解设箱子的长为x,宽为y,则其高应为'， 设箱子的 XV
12 f (0,0) 2 = 2 2 x y + =1上的函数值 f x y ( , ) 3 = 。2 3 ，故 f x y ( , )在 (0,0)点处取得最大值 f (0,0) 2 = 。 (2)实际问题 由实际问题本身，知道函数 f x y ( , )在区域 D 内有最 大值（或最小值），又 f x y ( , )在 D 内有唯一驻点，那么 驻点的函数值就是 f x y ( , )在 D 上的最大值（或最小值） 不必检验。 例 4．要制作一个容量V 为的长方体箱子，问如何选择 尺寸，才能使所用的材料最少？ 解 设箱子的长为x，宽为y，则其高应为 V xy，设箱子的