上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第八章 拉普拉斯变换（Laplace变换）

上降充通大学 证明： SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY ikt -ikt L.[sin k]sin ktedt=o e -e e dt 2i elp--ek dt 1-1 2i 2ip-ikp+认 k 7R的h-n

Re Re( ) Im Re Im . Re Re( ) Im p ik k p k p ik k    -          -   证明：   0 0 sin sin 2 ikt ikt pt pt e e kt kt e dt e dt i -   - - -     L ( ) ( ) 0 2 2 1 1 1 2 2 . p ik t p ik t e e dt i i p ik p ik k p k - - -   -     -     -    

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY LRe0) 「-函数 定义：【(s)=exk(s>0) 递推公式：T(1)=1, I(s+1)--xde*=-xex+s =sI(s) →T(n+l)=nl,neN aw=neN时，L[r]= n! r兰e-

   1,Re 0 ( 1) 4. 1  -      p p t     L   1 0 ( ) 0 x s s e x dx s  - -  -      函数 定义： 1 0 0 0 (1) 1, ( 1) ( ) ( 1) !, s x s x x s s x de x e s e x dx s s n n n    - - - -       -  -           N 递推公式： 2 2 1 0 ! . 1 2 . 2 n n x y y n n t p e dy      -                   N时，L

上游充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY §8.2 Laplace变换 的性质与计算

§8.2 Laplace变换 的性质与计算

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 假设所涉及函数的Laplace 变换都存在 1.线性性： 设L[f(0)]=F(p)(i=1,2),则 L[af(t)+a22(t)]=a,F(p)+a,F(p), L bF(p)+b2F(p)=b(t)+b2(t)

假设所涉及函数的 Laplace 变换都存在 设 L f t F p i i i ( ) ( ) ( 1,2),    则 1. 线性性：     1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) a f t a f t a F p a F p b F p b F p b f t b f t -       L L

上游充通大学 例：求sin(2)sin(3)的L-变换 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 解：因为sn2sn1=e-eXe-e (e51-e"-e"+e5r) 2p2p -12p =1D中25p2+1Fp+250+0 Rep>0

例: 求 sin (2t) sin (3t)的L-变换 2 2 3 3 5 5 1 : sin 2 sin 3 (e e )(e e ) 4 1 (e e e e ) 4 i t i t i t i t i t it it i t t t - - - -  - - -  - -  解 因为 2 2 2 2 1 1 1 1 1 [sin 2 sin 3 ] 4 5 5 1 2 2 12 , Re 0. 4 25 1 ( 25)( 1) t t p i p i p i p i p p p p p p p p    - -      -  -    -  -           L