上海交通大学：《数学物理方法》课程教学资源（课件讲稿）第八章 拉普拉斯变换（Laplace变换）

上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 证明：（积分的绝对收敛性） 设f(t)≤Me→ F(p≤fed≤0Me'eo"dt -Meo-加 0-0c 0 M -0。 (Rep=o>o.). 注：当f()满足定理条件时，limF(p)=0. Rep→+o0

证明：   ( ) 0 0 ( ) = Re . c t c c t M e dt c c M p M e s s s s s s s s s s   - - - -     - -  - (积分的绝对收敛性） Re ( ) lim ( ) 0. p f t F p  注： 当 满足定理条件时，  ( ) c t f t Mes 设   0 0 ( ) ( ) c pt t t F p f t e dt Me e dt s s   - -    

上游充通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY (F(p)的解析性)： 在Laplace?变换式的积分号内对p求导，则 acla=foean 而|-tf(t)e-pMie-(Rep-.r →[0e]≤Mema Rep=o>Gc) M (Re p-o) nrp)5fme= roe--aea1=40 像函数的微分性质

0 0 (Re ) d ( ) e d ( ) e d , d p | ( ) e | e . c pt pt p t p t f t t tf t t tf t Mt s   - - - - -    -   -    而 R e  (Re ) 2 0 0 d ( ) e d e d . d (Re ) c c p p t p t c M f t t Mt t p p s s s s     - - -        -   (F(p)的解析性): 0 0 d [ ( ) e ]d ( ) e d [ ( )]. d pt pt f t t tf t t L tf t p   - -   -  -   在Laplace变换式的积分号内对p求导, 则 --- 像函数的微分性质 0 d d ( ) ( )e d d d pt F p f t t p p  -   

上浒充通大警 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 注1：增长指数不唯一 记o是使f(t)≤Me(付t≥0)成立的最小的 增长指数，则称其为收敛坐标，称Rep=o为 收敛轴，F(p)在Rep=o>o内解析. 注2：若L[f(t)]=F(p),o是F(p)的所有奇点的 实部的最大值，则σ为收敛坐标

  实部的最大值，则 为收敛坐标 若L 是 的所有奇点的 0 0 ( ) ( ), ( ) s 注2： f t  F p s F p   ( ) Re . Re ( ) 0 0 0 0 收敛轴， 在 内解析 增长指数，则称其为收敛坐标，称 为 记 是使 成立的最小的 s s s s s       F p p p f t Me t t c 注1：增长指数不唯一

上海充通大 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSIT 8.1.3常用函数的Laplace变换 十00 Iclu()]=eMd=-Lem 4月 e(k-p) 1+0 2-eera-1d k-p 1 (Rep>Rek)

8.1.3 常用函数的Laplace变换   1 1 p 或记L      0 0 1 1 1. ( ) Re 0 pt pt u t e dt e p p p   - -   -    L ( ) ( ) 0 0 0 2. k p t kt kt pt k p t e e e e dt e dt k p  -   - -        -   L   1 Re Re p k p k   -

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               p k  p k p k t p k p k k k t p k p k p k t p k p k k k t cosh Re Re sinh Re Re cos Re Im 3. sin Re Im , 2 2 2 2 2 2 2 2  -   -        L L L L