上海师范大学：《线性代数》课程教学资源 Linear Algebra（讲稿，4/4）

上海饰境大学二次型的转化-配方法（）圳Shanghai Normal University我们再介绍另一个方法，配方法。它不依赖于矩阵的运算。比如考虑f=x+2x3+5x3+2x1X2+2x1X3+6x2X3我们考虑先将所有x，的项集中起来x+2x1X2+2X1X3对其配方可得：x+2x1x2+2x1xg=(x1+x2+x3)2-x2-x-2x2x从而：f = (x1+x2+x3)2+x2+4x3+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+x3)520

二次型的转化-配方法 (I) 我们再介绍另一个方法，配方法。它不依赖于矩阵的运算。比如考虑： f = x 2 1 + 2x 2 2 + 5x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2x3 我们考虑先将所有 x1 的项集中起来： x 2 1 + 2x1x2 + 2x1x3 对其配方可得： x 2 1 + 2x1x2 + 2x1x3 = (x1 + x2 + x3) 2 − x 2 2 − x 2 3 − 2x2x3 从而: f = (x1 + x2 + x3) 2 + x 2 2 + 4x 2 3 + 4x2x3 = (x1 + x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 520

上海师玩大学二次型的转化-配方法（）Shanghai Normal Universityf= (x1+x2+x3)2+x3+4x3+4x2X3=(x1+x2+X3)2+(x2+2x3)3我们令-1y1y1即01y2u200Y3y3X3X3则我们有：17f = xt12023x=y1531需要注意的是，该方法并大正满足系数矩阵是正交的521

二次型的转化-配方法 (II) f = (x1 + x2 + x3) 2 + x 2 2 + 4x 2 3 + 4x2x3 = (x1 + x2 + x3) 2 + (x2 + 2x3) 2 我们令     y1 y2 y3     =     1 1 1 0 1 2 0 0 1         x1 x2 x3     , 即：     x1 x2 x3     =     1 −1 1 0 1 −2 0 0 1         y1 y2 y3     则我们有： f = x T     1 1 1 1 2 3 1 3 5     x = y T     1 0 0 −1 1 0 1 −2 1         1 1 1 1 2 3 1 3 5         1 −1 1 0 1 −2 0 0 1     y = y T     1 0 0 0 1 0 0 0 0     y 需要注意的是，该方法并不一定满足系数矩阵是正交的。 521

上海饰境大筝二次型的转化-配方法（I）Shanghai Normal University如果只有类似x1x2的项，比如：f=2xix2+2x12x3—6x1x3我们也是可以用配方法的，只要注意到4x1x2= (x1+ x2)2- (x1 -x2)2从而进行01X1yi0-1X2y2001X3Y3代入再按之前配方的思路化简即可。522

二次型的转化-配方法 (II) 如果只有类似 x1x2 的项，比如： f = 2x1x2 + 2x12x3 − 6x1x3 我们也是可以用配方法的，只要注意到： 4x1x2 = (x1 + x2) 2 − (x1 − x2) 2 从而进行     x1 x2 x3     =     1 1 0 1 −1 0 0 0 1         y1 y2 y3     代入再按之前配方的思路化简即可。 522

合同关系上海饰烧大筝Shanghai NormalUniversit可以看到，通过一些可逆的系数变换，我们可以将一个二次型进行转换，即，令f =xTAx则可以通过一个可逆逆矩阵C，使得x=Cy，并且：f = y'cTACy=y'By我们称满足这样一个关系的矩阵A，B是合同的。定义212.令AB是nXn的矩阵，若存在可逆矩阵C使得B=CTAC则称A和B是合同的。523

合同关系 可以看到，通过一些可逆的系数变换，我们可以将一个二次型进行转换，即，令 f = x TAx 则可以通过一个可逆逆矩阵 C, 使得 x = Cy，并且: f = y TC TACy = y TBy 我们称满足这样一个关系的矩阵 A, B 是合同的。 定义 212. 令 A, B 是 n × n 的矩阵，若存在可逆矩阵 C 使得： B = C TAC 则称 A 和 B 是合同的。 523

上海饰烧大筝正定性和行列式的关系Shanghai Normal Universit现在我们来看一下正定性和行列式的关系。定理213如果S是正定矩阵，则det(S）>0证明.由S是实对称的，从而存在正交矩阵Q使得[A..0=QTSQ.:0入n这里入1.....入。是S的特征值。从而入0= det(QT) det(S) det(Q)0入n即：det(S) = det(Q)det(S)det(Q)=>1 ...>n > 0524

正定性和行列式的关系 现在我们来看一下正定性和行列式的关系。 定理 213. 如果 S 是正定矩阵，则 det(S) > 0. 证明. 由 S 是实对称的，从而存在正交矩阵 Q 使得：     λ1 · · · 0 . . . . . . . . . 0 · · · λn     = QTSQ 这里 λ1, · · · , λn 是 S 的特征值。从而：         λ1 · · · 0 . . . . . . . . . 0 · · · λn         = det(QT ) det(S) det(Q) 即： det(S) = det(QT ) det(S) det(Q) = λ1 · · · λn > 0 524