南京大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义，打印版）08 数项级数

第八章数项级数在研究Taylor展开时，我们遇到过级数的收敛问题。这一章和下一章我们就来处理这样的问题81级数收敛与发散的概念设a1,a2，*，an，为一列实数，形式和80Zan:=a1+a2+...+an+.n=1na=ai+…+an称为第n个部称为无究级数，a，称为通项或一般项，S。三k=1分和.8如果limSn=S存在且有限，则称级数an收敛，记为n=i2a-sn=1T否则就称级数an发散n=inan收敛→通项an→0(n→ 80).这是因为级数收敛的必要条件：n=1an=Sn-Sn-1-→S-S=0(n → 8).80an 收敛Ve>0, N=N(e),级数收敛的充要条件（Cauchy准则）：n=i当n>N时[an+1 + an+2+...+ an+pl <e, Vp≥1.这时因为an+1 + an+2 +... + an+p = Sn+p - Sn,对数列[Sn]用Cauchy收敛准则即可.1

[R~ swes >*T Taylor BY, m;9EÆc. F.C;.Cm U\^F+. §1 drqk|]pZ`n  a1, a2, · · · , an, · · · .f, & ; X∞ n=1 an = a1 + a2 + · · · + an + · · · xE, an #@.
#, Sn = Xn k=1 ak = a1 + · · · + an  n 2 .;.
8 limn→∞ Sn = S >v7!, ? E X∞ n=1 an Æc, I X∞ n=1 an = S. /?U E Xn n=1 an *. drqkZVxuf : Xn n=1 an Æc ⇒ # an → 0(n → ∞). F3 an = Sn − Sn−1 → S − S = 0 (n → ∞). drqkZYxuf (Cauchy }) : X∞ n=1 an Æc ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N = N(),  n > N  |an+1 + an+2 + · · · + an+p| < ε, ∀ p ≥ 1. F3 an+1 + an+2 + · · · + an+p = Sn+p − Sn, &f {Sn} 5 Cauchy ÆcN?D[. 1

81判断级数例1的敛散性n=i n · (n + 1)解411112ZSn=1, (n-→8)F- k· (k + 1)k+1n+1k=1k=1故级数收敛8012例2判断级数的敛散性n=11111n>1时,与例1类似,有解<n2n-1n(n-1)n+p211111-120<7II→0, (n→8)2(k-1?nn+pk=n+1k=n+1元2由Cauchy准则，级数收敛（事实上其和为6判断级数广兴例3的敛散性(调和级数).n=in解Vn≥1,有艺11111Y1-.S2n+in+22n2n2n2nk=n+1由Cauchy准则，级数发散O0例4判断级数sinn的敛散性n=1解利用等式sin(n+1)=sinn-cos1+cosn·sinl知，如果级数收敛，则sinn→0(n→oo),从而cosn→0(n→8).但sin? n + cos? n = 1.从而原级数发散2

j 1 q%E X∞ n=1 1 n · (n + 1) c'. h Sn = Xn k=1 1 k · (k + 1) = Xn k=1 ( 1 k − 1 k + 1 ) = 1 − 1 n + 1 → 1, (n → ∞) 6EÆc. j 2 q%E X∞ n=1 1 n2 c'. h n > 1 , 1 n2 < 1 n(n − 1) = 1 n − 1 − 1 n . :a 1 ], 7 0 < Xn+p k=n+1 1 k 2 < nX +p k=n+1  1 k − 1 − 1 k  = 1 n − 1 n + p < 1 n → 0, (n → ∞). 6 Cauchy N?, EÆc (s; π 2 6 ). j 3 q%E X∞ n=1 1 n c' (";E). h ∀ n ≥ 1, 7 X 2n k=n+1 1 k = 1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 2n > 1 2n + 1 2n + · · · + 1 2n = 1 2 , 6 Cauchy N?, E*. j 4 q%E X∞ n=1 sin n c'. h `5 sin(n + 1) = sin n · cos 1 + cos n · sin1 I,
8EÆc, ? sin n → 0(n → ∞), ( cos n → 0(n → ∞).  sin2 n + cos2 n ≡ 1. (<E*. 2

00X例5>0,则当1时收敛，≥1时"发散(几何级数)。n=in=1证明1 -qnqSn=/k(0 <g < 1).q=q1-1-qqk=1q≥1时，q+0,故发散页（1)如果an和bn均收敛，则(Aan+μbn）也收敛，且命题n=1n=1n=1d8000(Aan+μbn)=^.an+μ.bn,(,μER)>n=in=1n=1(2)级数的敛散性与其有限项的值无关$2正项级数收敛与发散的判别法874如果an>0,则称an为正项级数。此时，部分和Sn=>Can关于n是n=l递增的.因此有Zan收敛台[Sn)收敛台(Sn)有上界(基本判别法)n=191判断>例 1 的敛散性n=i Vn. (n+ 1)解12Vn.(n+1)Vn(Vn+I+Vn)·Vn+IVn+I-Vn2.-Vn.Vn+111VnVn+i从而117<2>Sn=2VkVk+1V/n+Vk·(k+1)-1-13

j 5 q > 0, ? q < 1  X∞ n=1 q n Æc, q ≥ 1  X∞ n=1 q n * (F<E). ￾l Sn = Xn k=1 q k = q · 1 − q n 1 − q → q 1 − q , (0 < q < 1). q ≥ 1 , q n 6→ 0, 6*. mt (1)
8 X∞ n=1 an ; X∞ n=1 bn XÆc, ? X∞ n=1 (λan + µbn) -Æc, v X∞ n=1 (λan + µbn) = λ · X∞ n=1 an + µ · X∞ n=1 bn, (λ, µ ∈ R). (2) Ec':s7!#J7. §2 vdrqk|]pZoX^
8 an > 0, ? X∞ n=1 an G#E. , .; Sn = Xn k=1 an 78 n  @. 37 (bToX^) X∞ n=1 an Æc ⇔ {Sn} Æc ⇔ {Sn} 7R. j 1 q% X∞ n=1 1 √ n · (n + 1) c'. h 1 √ n · (n + 1) < 2 √ n( √ n + 1 + √ n) · √ n + 1 = 2 · √ n + 1 − √ n √ n · √ n + 1 = 2  1 √ n − 1 √ n + 1 ( Sn = Xn k=1 1 √ k · (k + 1) < 2 Xn k=1  1 √ k − 1 √ k + 1 = 2  1 − 1 √ n + 1 < 2. 3

故原级数收敛80oo设an和bn为正项级数，如果日常数M>0,定理1 (比较判别法)n=1n=1使得(*)an≤M·bn00则(1)bm收敛=→an收敛；(2)an发散→bm发散n=1n=1n=1n=1证明比较两级数的部分和并利用基本判别法即可注（1）条件(*）只要对充分大的n成立即可(2)（*）也可改写为an≤MbnM的存在性通常用求极限的办法得到，即如果an=入,lim2-+00bm则有8080()0<入+80时an和bn同敛散;n=in=1O0(i)入=0时bn收敛→an收敛：入=0时bn发散=an发n=1n=1n=12-1散.(3)另一个求n上界的方法是利用单调性，即如果bnbn+1an+1an)(合bnbnan80X00则(i)bn收敛→an收敛；(i)an发散→bn发散n=1n=ln=1n=i(4)（Cauchy判别法）在定理1中取bn=gn，得到如下结果如果n充分大时，an<9<1,则an收敛n=1如果存在无穷多个n，使得/an≥1,则an发散n=i4

6<EÆc. \i 1 (UgoX^)  X∞ n=1 an ; X∞ n=1 bn G#E,
8 ∃  M > 0,  an ≤ M · bn (∗) ? (1) X∞ n=1 bn Æc ⇒ X∞ n=1 an Æc; (2) X∞ n=1 an * ⇒ X∞ n=1 bn *. ￾l OdE .;`5Aq+D[.
(1) L (*) K,&. n ÆbD[. (2) (*) -[1$ an bn ≤ M M >'5yB!+, D
8 limn→∞ an bn = λ, ?7 (i) 0 < λ + ∞  X∞ n=1 an ; X∞ n=1 bn c; (ii) λ = 0  X∞ n=1 bn Æc ⇒ X∞ n=1 an Æc; λ = ∞  X∞ n=1 bn * ⇒ X∞ n=1 an * . (3) h.2y an bn R,+`5"', D
8 an+1 an ≤ bn+1 bn (⇔ an bn &) ? (i)X∞ n=1 bn Æc ⇒ X∞ n=1 an Æc; (ii) X∞ n=1 an * ⇒ X∞ n=1 bn *. (4) (Cauchy q+) >#^ 1 L{ bn = q n , 
P8:
8 n ., √n an ≤ q < 1, ? X∞ n=1 an Æc;
8>x'2 n,  √n an ≥ 1, ? X∞ n=1 an *. 4

如果寻找9？还是求极限比较方便：设Tim an = 入.则><1时，an收敛；入>1时，级数发散(入=1时无法判别)n=1(5)(d'Alembert判别法)在(3)中取bn=q"，得如下结果如果n 充分大时,n<q<1,则an收敛;ann=1如果≥1(对充分大的 n 成立),则an 发散ann=1当然，还是求极限来寻找9比较容易.如果an+1lim=入+00oan则入<1时级数收敛，^>1时发散（=1时无法判别) - In(1 + 例2判别的敛散性/In2n=1解1-n(1+2)=10<:+()n2因此1lim In(1 +2n2nn而门收敛，故原级数收敛n2n=lO0卫)n的敛散性例3设pER,判别级数(1-nn=1解PinVan=(1--e-pn故p>0时原级数收敛；p<0时发散.显然p=0时级数也发散例4aER判别级数Zn!(三"的敛散性n=i5

8)D q ? >yB!O,:  limn→∞ √n an = λ. ? λ < 1 , X∞ n=1 an Æc; λ > 1 , E* (λ = 1 +q). (5) (d’Alembert q+) > (3) L{ bn = q n , 
P8:
8 n ., an+1 an ≤ q < 1, ? X∞ n=1 an Æc;
8 an+1 an ≥ 1(&. n Æb), ? X∞ n=1 an *. ~, >yB!\)D q O￾0.
8 limn→∞ an+1 an = λ, ? λ < 1 EÆc, λ > 1 * (λ = 1 +q). j 2 q X∞ n=1  1 n − ln(1 + 1 n )  c'. h 0 < 1 n − ln(1 + 1 n ) = 1 2 1 n2 + o( 1 n2 ) 3 limn→∞  1 n − ln(1 + 1 n )  / 1 n2 = 1 2 , ( X∞ n=1 1 n2 Æc, 6<EÆc. j 3  p ∈ R, qE X∞ n=1 (1 − p n ) n 2 c'. h √n an = (1 − p n ) n → e −p , 6 p > 0 <EÆc; p < 0 *. ~, p = 0 E-*. j 4 x ∈ R qE X∞ n=1 n! · ( x n ) n c'. 5