正交和投影（OrthogonalityandProjection）
正交和投影 (Orthogonality and Projection)
正交和投影（OrthogonalityandProjection正交性
正交和投影 (Orthogonality and Projection) 正交性
上海饰境大学Ax=0的解与行空间AShanghai Normal University我们来从几何的角度来看Ax=0的解。记矩阵A的形式如下[a]]A=.::Lam则每个a可以视作一个nx1的矩阵，即ailai=+[ain]则对于任意x=ER有Ax=0aux1+..+ainxn=0对于任—ie[m]对于任一iE[m]ai·x=0.即x与ai都是垂直(正交)的。一对于任一iE[m]a,x=0283
Ax = 0 的解与行空间 A 我们来从几何的角度来看 Ax = 0 的解。记矩阵 A 的形式如下： A = a T 1 . . . a T m 则每个 ai 可以视作一个 n × 1 的矩阵，即： ai = ai1 . . . ain 则对于任意 x = h x1 · · · xn iT ∈ R n 有： Ax = 0 ⇐⇒ ai1x1 + · · · + ainxn = 0 对于任一 i ∈ [m] ⇐⇒ 对于任一 i ∈ [m] ai · x = 0，即 x 与 ai 都是垂直 (正交)的。 ⇐⇒ 对于任一 i ∈ [m] a T ix = 0 283
上海饰境大学Ax0的解的几何性质（）Shanghai Normal University定理131.给定一个矩阵A，其行空间C(AI)和零空间N(A)是正交的（orthogonal)，即对于任意的uEC(A和vEN(A）我们都有：u.V=uv=0特别的，其逆命题也是成立的，即如果存在ER"满足v与C(AT）中的任何一个u都是垂直的，则AV=O,即:VEN(A)284
Ax = 0 的解的几何性质 (I) 定理 131. 给定一个矩阵 A，其行空间 C(AT ) 和零空间 N(A) 是正交的 (orthogonal)，即对于任意 的 u ∈ C(AT ) 和 v ∈ N(A)，我们都有： u · v = u T v = 0 特别的，其逆命题也是成立的，即如果存在 v ∈ R n 满足 v 与 C(AT ) 中的任何一个 u 都 是垂直的，则： Av = 0, 即：v ∈ N(A) 284
上海饰烧大筝Ax=0的解的几何性质（I）Shanghai Normal Universit定理131的证明.记A是之前的形式alA :Lam]则uEC(AT)等价于存在c：ERm使得：u=Ciai+...+Cmam=A'c从而对于任意VEN(A)有：u.V=uV=(A'c)Tc=AV=cO=0口285
Ax = 0 的解的几何性质 (II) 定理131的证明. 记 A 是之前的形式： A = a T 1 . . . a T m 则 u ∈ C(AT ) 等价于存在 c = c1 . . .cm ∈ Rm 使得： u = c1a1 + · · · + cmam = A T c 从而对于任意 v ∈ N(A) 有： u · v = u T v = (A T c) T c = c TAv = c T0 = 0 285