第七章定积分的应用和推广87.1定积分的应用87.1.1曲线的长度设I=[a.bl为区间.映射g：I→R2用分量表示为a(t) = (r(t),y(t), tE I.如果r(t)，y(t)均为连续函数，则称为R2上的连续曲线.如果a(t)，y(t)均可微（连续可微），则称为可微（连续可微）曲线设α为连续可微曲线，通过分割曲线并用直线段长度之和作逼近，我们可以定义的长度为L(o) =[(a(t)*+(g(t)]dt.例7.1.1.求摆线(r,y) = (a(t -sint),a(1 -cost), a > 0一拱的长度，解我们求tE[0,2元]时曲线的长度1 =[(r(t)? + (y'(t)jdta[(1 -cost)2 + sin t)dtT2asin -dt = 8a=21o需要注意的是，曲线也可以由别的参数给出，例如极坐标87.1.2简单图形的面积(1)如果f>0为[a,上的连续函数,则由y=f(r),r=a,=b (a<b)与y=0围成的曲边梯形的面积为f(a)drS.一般地，当于变号时，上式仍有意义，称为代数面积和，而If(r)]da.1
1ÔÙ ½È©A^Úí2 §7.1 ½È©A^ §7.1.1 Ý I = [a, b] «m, N σ : I → R 2 ^©þL« σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I. XJ x(t), y(t) þëY¼ê, K¡ σ R 2 þëY. XJ x(t), y(t) þ (ëY), K¡ σ (ëY) . σ ëY, ÏL©¿^ãÝÚ%C, ·±½  σ Ý L(σ) = Z b a [(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt. ~ 7.1.1. ¦{ (x, y) = (a(t − sin t), a(1 − cost)), a > 0 ÿÝ. ) ·¦ t ∈ [0, 2π] Ý l = Z 2π 0 [(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt = Z 2π 0 a[(1 − cost) 2 + sin2 t] 1 2 dt = 2a Z 2π 0 sin t 2 dt = 8a. I5¿´, ±dOëêÑ, ~X4I. §7.1.2 {üã/¡È (1) XJ f > 0 [a, b] þëY¼ê, Kd y = f(x), x = a, x = b (a < b) y = 0 ¤>F/¡È S = Z b a f(x) dx. /, f CÒ, þªEk¿Â, ¡ê¡ÈÚ, S = Z b a |f(x)|dx 1
2第七章定积分的应用和推广才是所围面积之和.更一般地，由y=f2(ar),y=fi()（f2≥fi)以及a=a,=b围成的图形的面积为S=If2(a) - fi(r)ldr(2）设α为平面曲线，由极坐标方程r=r(0), e[α,P]给出，其中r()关于连续，β-α2元.则由,=Q,=β所围成的图形面积为r2(0)do.5r2() -△0; =2.(3) 如果曲线 由 (t)= (μ(t),y(t), te [a,b) 给出, 则 与 =a, =b 以及y=0围成的图形的面积为S:ly(t)r' (t)]dt.如果α除在t=a,b处以外无自交点，则α本身围成的图形的面积为[ y(t)r(t)dtl =1 /S=Ir(t)gy(t)dt)22.92例7.1.2.求椭圆1所图成的面积2+解由图形的对称性，有Sda61/103Vi-sin?ta costdt4hf= 4abcos?tdt=TabJo例7.1.3.求双纽线（2+y2)2=a2（2-y2）所围成的面积解由图形的对称性，有r412(0)d=2a2cos20do=a2S=4.2JoJo(4）旋转曲面的面积.设为平面曲线o(t)= (r(t),y(t)),tE[a,bl,y(t)≥0
2 1ÔÙ ½È©A^Úí2 â´¤¡ÈÚ. /, d y = f2(x), y = f1(x) (f2 ≥ f1) ±9 x = a, x = b ¤ã/¡È S = Z b a |f2(x) − f1(x)|dx. (2) σ ²¡, d4I§ r = r(θ), θ ∈ [α, β] Ñ, Ù¥ r(θ) 'u θ ëY, β − α ≤ 2π. Kd σ, θ = α, θ = β ¤¤ã/¡È S = lim kπk→0 Xm i=1 1 2 r 2 (ξ) · ∆θi = 1 2 Z β α r 2 (θ)dθ. (3) XJ σ d σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] Ñ, K σ x = a, x = b ±9 y = 0 ¤ã/¡È S = Z b a |y(t)x 0 (t)|dt. XJ σ Ø3 t = a, b ?± Ãg:, K σ ¤ã/¡È S = | Z b a y(t)x 0 (t)dt| = | Z b a x(t)y 0 (t)dt|. ~ 7.1.2. ¦ý x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ¤¤¡È. ) dã/é¡5, k S = 4 Z a 0 b r 1 − x 2 a 2 dx = 4b Z π 2 0 p 1 − sin2 t a costdt = 4ab Z π 2 0 cos2 tdt = πab. ~ 7.1.3. ¦VÝ (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) ¤¤¡È. ) dã/é¡5, k S = 4 · 1 2 Z π 4 0 r 2 (θ)dθ = 2a 2 Z π 4 0 cos 2θdθ = a 2 . (4) ^=¡¡È. σ ²¡ σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], y(t) ≥ 0.
387.1定积分的应用a绕轴旋转所得曲面的面积为nS=lim 2元y($)[(r($)?+(y'($)))+△t1元-0台2y(t)[(r(t)2 +(y(t)]+dt例7.1.4.求将+(y-b)2=a2(0<a≤b)绕轴旋转所得曲面的面积解曲线的参数方程为r(t) =acost, y(t)=b+asint, t e[0,2]故旋转曲面面积为2(b +a sint)[a? sin’t+a?cos?t)dtS=2元0(b + a sint)dt = 4元2ab.87.1.3简单立体的体积(1)平行截面之间的立体体积设为R3中一块立体区域，夹在平面=a与=b(a<b)之间.记S()为E[a,]处垂直于轴的平面截的截面面积函数.如果S()关于连续则2的体积为VS(r)dr特别地，如果两块区域2A和2B的截面面积函数相等，则其体积相同.这个事实在公元5到6世纪由祖（祖冲之之子）所发现，17世纪时意大利人Cavalieri也发现了这一事实例7.1.5.求精球体d号++号=1的体积+解固定rE（-a,a),截面为椭圆面y222T2 = (1 -22),5+其面积为rLS(r) = 元b(1 -)+c(1 -) = 元bc(1 - 02a2a2故椭球的体积为. be(1-)dz = S(r)dr=ITabc3
§7.1 ½È©A^ 3 σ 7 x ¶^=¤¡¡È S = lim kπk→0 Xn i=1 2πy(ξ)[(x 0 (ξ))2 + (y 0 (ξ))2 ] 1 2 ∆ti = Z b a 2πy(t)[(x 0 (t))2 + (y 0 (t))2 ] 1 2 dt ~ 7.1.4. ¦ò x 2 + (y − b) 2 = a 2 (0 < a ≤ b) 7 x ¶^=¤¡¡È. ) ëê§ x(t) = a cost, y(t) = b + a sin t, t ∈ [0, 2π]. ^=¡¡È S = Z 2π 0 2π(b + a sin t)[a 2 sin2 t + a 2 cos2 t] 1 2 dt = 2πa Z 2π 0 (b + a sin t)dt = 4π 2 ab. §7.1.3 {üáNNÈ (1) ²1 ¡máNNÈ Ω R 3 ¥¬áN«, Y3²¡ x = a x = b (a < b) m. P S(x) x ∈ [a, b] ?Ru x ¶²¡ Ω ¡¡È¼ê. XJ S(x) 'u x ëY, K Ω NÈ V = Z b a S(x)dx. AO/, XJü¬« ΩA Ú ΩB ¡¡È¼ê , KÙNÈÓ. ù¯¢ 3ú 5 6 Vdy3 (yÀf) ¤uy, 17 V¿|< Cavalieri uy ù¯¢. ~ 7.1.5. ¦ý¥N d x 2 a2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 NÈ. ) ½ x ∈ (−a, a), ¡ý ¡ y 2 b 2 + z 2 c 2 = (1 − x 2 a 2 ), Ù¡È S(x) = πb(1 − x 2 a 2 ) 1 2 c(1 − x 2 a 2 ) 1 2 = πbc(1 − x 2 a 2 ). ý¥NÈ V = Z a −a S(x)dx = Z a −a πbc(1 − x 2 a 2 )dx = 4 3 πabc.
4第七章定积分的应用和推广(2）旋转体的体积设f为[a,b]上的连续函数，2是由平面图形(aol()绕轴旋转一周所得旋转体.则在E[a,引]处的截面为圆盘，其面积为S(a)f(μ)2.因此2的体积为V:(r)daS()dr :例7.1.6.求高为h，底半径为r的圆锥体的体积.解由上面的体积公式，有V=(a)dr =5mr2h3hJo87.1.4物理应用举例(1）考虑空气阻力的自由落体运动质量为m的物体在重力作用下自由下落，下落时所受空气阻力与下落速度成正比，比例常数为k，则由牛顿定律dumg-ku=mat'其中，9为重力加速度，为物体的速度，我们选择指向地心的坐标。上面的方程等价于dl(estu)=geat,dtle假设初速度为零，则mg(ert-1)eutuem"ds=k即mg(1-e-t)v(t) =mg，即速度不会增加到无限大特别地，t→8o时w(t)→k(2)第二宇宙速度从地球表面发射火箭，如果要求火箭无限飞离地球，问：火箭的初速度至少为多大？
4 1ÔÙ ½È©A^Úí2 (2) ^=NNÈ. f [a, b] þëY¼ê, Ω ´d²¡ã/ {(x, y)| a ≤ x ≤ b, 0 ≤ |y| ≤ |f(x)|} 7 x ¶^=±¤^=N. K3 x ∈ [a, b] ? ¡ , Ù¡È S(x)πf(x) 2 . Ïd Ω NÈ V = Z b a S(x)dx = π Z b a f 2 (x)dx. ~ 7.1.6. ¦p h, .» r INNÈ. ) dþ¡NÈúª, k V = π Z h 0 ( r h x) 2 dx = 1 3 πr2h. §7.1.4 ÔnA^Þ~ (1) Äí{ågdáN$Ä. þ m ÔN3å^egdeá, eá¤Éí{åeáݤ ', '~~ê k, KdÚî½Æ, mg − kv = m dv dt , Ù¥, g å\Ý, v ÔNÝ, ·ÀJ/%I. þ¡§ du d dt(e k m t v) = ge k m t , bÐÝ", K e k m t v = g Z t 0 e k m s ds = mg k (e k m t − 1), = v(t) = mg k (1 − e − k m t ). AO/, t → ∞ v(t) → mg k , =ÝجO\Ã. (2) 1»Ý. l/¥L¡u», XJ¦»Ãl/¥, ¯: »ÐÝ õ?
587.1定积分的应用根据万有引力定律，在距地心处火箭所受地球引力为F= GMmr-2其中，G为万有引力常数，M为地球质量，m为火箭质量.在地球表面，有GMmR-2 =mg,其中R为地球半径.火箭从地面升到距地心r（r>R)处需要做的功为[ mgRa-2dr = mgR(-1)GMmr-2dr =RTJRR因此，火箭无限飞离地球需要做功11W= lim mgR2()=mgRR由能量守恒原理，火箭的初速度至少为Uo，则12=mgR,gmua因而Vo=V2gR=V2×9.81(m/s2)×6.371×106m~11.2(km/s)（3）缆绳的工作原理绳索在日常生活中应用十分广泛，例如在码头上经常用来系住船舶.为什么绳索能拉住大型船舶？下面我们就来作一个力学分析，它揭示了绳索产生巨大拉力的原理设一段绳索缠绕在一圆柱体上，绳索一端施以拉力f，绳索与圆柱体之间的摩擦系数为k，如果绳索共绕了n圈，在绳索的另一端产生的拉力为F，我们来求F的值取长度为△的一小段绳索，研究其受力状况.设这一段绳索承受圆柱体的正压力为AN.则摩擦力为kAN.这一段绳索两端所受拉力分别为F.F+AF.则考虑沿圆柱体外法向和切向这两个方向绳索的受力，得到方程A0Ae+Fsin△N=(F+△F)sin22A6A0=Fcos(F+△F)cos+kAN22令0→0得dF=kFda利用积分解得F(0) = f.ek01当?=2n元时，F=f·e2kn元。例如，设摩擦系数k=，n = 6, f = 10kg,则F>80000kg
§7.1 ½È©A^ 5 âkÚå½Æ, 3å/% x ?»¤É/¥Úå F = GMmx−2 , Ù¥, G kÚå~ê, M /¥þ, m »þ. 3/¥L¡, k GMmR−2 = mg, Ù¥ R /¥». »l/¡,å/% r (r > R) ?Iõ Z r R GMmx−2 dx = Z r R mgR2x −2 dx = mgR2 ( 1 R − 1 r ). Ïd, »Ãl/¥Iõ W = limr→∞ mgR2 ( 1 R − 1 r ) = mgR. dUþÅðn, »ÐÝ v0, K 1 2 mv2 0 = mgR, Ï v0 = p 2gR = p 2 × 9.81(m/s2) × 6.371 × 106m ≈ 11.2 (km/s) (3) C-ón -¢3F~)¹¥A^©2, ~X3èÞþ²~^5X4EÍ. o- ¢U.4.EÍ? e¡·Ò5åÆ©Û, §« -¢)ã.å n. ã-¢73 ÎNþ, -¢à±.å f, -¢ ÎNm ÞXê k, XJ-¢7 n , 3-¢,à).å F, ·5¦ F . Ý ∆θ ã-¢, ïÄÙÉåG¹. ùã-¢«É ÎN Øå ∆N, K Þå k∆N. ùã-¢üà¤É.å©O F, F + ∆F, K Ä÷ ÎN {Úùü-¢Éå, § ∆N = (F + ∆F) sin ∆θ 2 + F sin ∆θ 2 , (F + ∆F) cos ∆θ 2 = F cos ∆θ 2 + k∆N. - ∆θ → 0, dF dθ = kF, |^È©) F(θ) = f · e kθ . θ = 2nπ , F = f · e 2knπ . ~X, ÞXê k = 1 4 , n = 6, f = 10kg, K F > 80000kg.