第六章Riemann积分g1Riemann可积如右图，考虑由直线a=a.y=b.y=0及曲线y=f(c)围成的曲边梯形为了计算它的面积，我们用若干小矩形面积之和去逼近：将[a,b]划分为π:a=20<a1<...<an=b第i个小梯形的面积可用f(s)△a近似逼近，其中E[i-1,],△a=-ri-1于是和f(si)·△r;表示曲边梯形ABCD的面积的近似值.我们期望当[a,b]i=1的划分越来越细时，这个近似值越来越接近所求面积我们用下式表示SABCD =,lim,Zf(S) Ari1元0台这里Il=max[Aai]如果上述极限存在，则记为f(r)dr一般地,设函数f(r)定义于区间[a,b],[a,b] 内有n+1个点依次为a=ro<1an=b,它们将[a,]分成n个小区间△,=[ri-1,ai],i=1,2,,n这些分点及闭子区间构成了[α,b的一个分割，记为π:a=ro<ai<...<an=b小区间△的长度为Ari=-i-1，并称元/ = max [Ar;)1<i<为分割元的模对于分割元，任取点sE△,=[i-1,ri],i=1,.,n.称f(s) -Arii=l为f在[a,]上的一个Riemann和或积分和1
)=N Riemann 5/ §1 Riemann :4 -|L, yz_ x = a, y = b, y = 0 ^%_ y = f(x) Q%% Eg, S `AC%\, Wy/?bug\Q's: k [a, b] W:S π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b ( i BbEg%\zy f(ξi)·∆xi s@s, ξi ∈ [xi−1, xi ], ∆xi = xi−xi−1. ~:Q Xn i=1 f(ξi)· ∆xi 8% Eg ABCD %\%s@. W O, ! [a, b] %W:}[4, Bs@}msB#\. Wy\7 8 SABCD = lim kπk→0 Xn i=1 f(ξi) · ∆xi kπk = max 1≤i≤n {∆xi}. -M0=]^, aS Z b a f(x)dx. n', 1O> f(x) ,u~$f [a, b], [a, b] { n+ 1 B)oS a = x0 < x1 < · · · < xn = b, Ck [a, b] : n Bb$f ∆i = [xi−1, xi ], i = 1, 2, · · · , n, c:)^ $fF [a, b] %nB:A, aS π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b b$f ∆i %.S ∆xi = xi − xi−1, Æ kπk = max 1≤i≤n {∆xi} S:A π %. 1~:A π, *&) ξi ∈ ∆i = [xi−1, xi ], i = 1, · · · , n. Xn i=1 f(ξi) · ∆xi S f [a, b] 0%nB Riemann QZ\:Q. 1
定义1(Riemann积分）设f如上，如果存在实数I.使得对>0.三8>0,对任何分割元，只要1元<8，就有f(s)Ari-Vsieri-,rl, i=l,..,n<E.则称f在[a,b]上Riemann可积或可积，积分为I，记为f(a)da = lim.Zf(s) -Ari.元—0其中f(r)称为被积函数，[a,b]为积分区间，a,b分别称为积分下限与积分上限注(1)积分和变量的选择无关,即f(a)dr=f(t)dt(2)如果在[a,b]上可积则积分f(r)dr是惟一确定的定理1（可积的必要条件)若f(r）在[a,b]上可积，则f在[a,]上有界反之不然证明假设f在[a,句]上可积，沿用上面的记号，记I为其积分取ε=1,由定理1,日8>0,对[a,]的任意分割:a=o<i<..<n=b,l<8及VS e[ri-1,ai], i= 1,2,..,n, 有 f(s)Ar; --1b-o特别地,取自然数n>令=a-6-a),=0,.…,n，则此时元-b-<8,不等式成为n(6) -I<1, Vie[a+=l(b-a),a+(b-对于je{1,2,..n],我们如下取s，≠j2(b-a)si=a+2
*K 1 (Riemann 4.) 1 f -0, -M5> I, 6$1 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 1*R:A π, l kπk < δ, t{ Xn i=1 f(ξi)∆xi − I < ε, ∀ ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, · · · , n f [a, b] 0 Riemann z\Zz\, \:S I, aS I = Z b a f(x)dx = lim kπk→0 Xn i=1 f(ξi) · ∆xi . f(x) S\O>, [a, b] S\:$f, a, b : S\:\^\:0^. S (1) \:Q x %j XJ, _ Z b a f(x)dx = Z b a f(t)dt. (2) -M f [a, b] 0z\, \: Z b a f(x)dx :Rn(,%. *; 1 (:4'$ID7) / f(x) [a, b] 0z\, f [a, b] 0{q, 6). O? d1 f [a, b] 0z\, ky0%aP, a I S \:. & ε = 1, z, 1, ∃ δ > 0, 1 [a, b] %*t:A π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, kπk < δ ^ ∀ ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, 2, · · · , n, { Xn i=1 f(ξi)∆xi − I < 1 D ', & )> n > b − a δ , xi = a + i n (b − a), i = 0, · · · , n, 4 kπk = b − a n < δ, &7S b − a n Xn i=1 f(ξ) − I < 1, ∀ ξi ∈ a + i − 1 n (b − a), a + i n (b − a) . 1~ j ∈ {1, 2, · · · , n}, W-\& ξi , i 6= j: ξi = a + i n (b − a) 2
令M=max0<i<n划成有如积估计1nf(5)-(1 + )n=1nEf(s)If(S))/ ≤-(1 + [zl)b-a计nL(n-1)-M +-(1 + [I)-a)i=ab-(b因为这所估计设于j=1,2,..·，n如们Caa立,故n(1 + (),If(r)/ ≤ (n - 1)M +Vre[a,b],h-(线f有界反例有界望数未必由下Dirichlet望数D(r）线为例子：设于一所是算，当S取[ci-1,ai]中无理数时，下是围为0,当S取[ri-1,ai]中有理数时，下是围为1.故下是围无极及（完整证明并作习题）根据定矩1来直接判上一所望数分否由下分非常右难曲.积面引度新曲式法来判上为模以积总假定f有界,并记M=supf(r),m=inf,f(r),设于rE[a,b]E[a,6]是算元:a=To<ai<..<an=b,记M; =inff(a),f(a),supmi=re[ri-1,r]zE[r,-1,r]S-Mi-Ari,miAri.S=i=1i=1wi = Mi - mi,3
M = max 0≤i≤n f a + i n (b − a) W{-\G`: Xn i=1 f(ξi) ≤ n b − a (1 + |I|) |f(ξj )| ≤ X i6=j f(ξi) + n b − a (1 + |z|) ≤ (n − 1) · M + n b − a (1 + |I|) (ξi = a + i n (b − a)) ∀ ξj ∈ a + j − 1 a (b − a), a + j a (b − a) . vS BG`1~ j = 1, 2, · · · , n - , H |f(x)| ≤ (n − 1)M + n b − a (1 + |I|), ∀ x ∈ [a, b], _ f {q. -< {qO>Uz\. Dirichlet O> D(x) _S : 1~nB:A, ! ξi & [xi−1, xi ] X> 4, \:QS 0, ! ξi & [xi−1, xi ] {>4, \:QS 1. H\:QX]^ (N ÆÆ"YG). Dv,u 1 }m 0nBO>:;z\:9|%. \w.e%7 5} 0. S, q\ d, f {q, Æa M = sup x∈[a,b] f(x), m = inf x∈[a,b] f(x), 1~ :A π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, a Mi = sup x∈[xi−1,xi] f(x), mi = inf x∈[xi−1,xi] f(x), S = Xn i=1 Mi · ∆xi , s = Xn i=1 mi · ∆xi , ωi = Mi − mi , 3
我们称S为f关于元的Darboux上和，简称上和，也记为S(元）或S(元，f).而s称为Darboux下和，简称下和，也记S()或S(元，f)，称wi为f在[ci-1,cil上的振幅由定义,S-8=wiAri.=1习题wi=sup(lf(r)-f(y),ye[ri-1,ril)引理1对于一个确定的分割元，有f(s) -Arilsie[ri-1,ril,1 <i≤nS= supi=1s=infCf(s)-Ailsie[ri-1,ail,1≤i<nSi=1证明一方面，由定义，有nnZ(s)-MA=S, VEi e[i-1,l, 1i≤ni1i=1从而<Sf(s)-Arie[i-1,a],1≤i≤nsup(=l另一方面，Ve>0,由上确界的定义，可选E[ri-1,ril，使得Ef(sa) > M-b-a此时,有nnEE(M,).Arif(s).△ri>>b-ai=1i=1nnEZu·AriArib-ai1i-1S-E这说明f(s) -Arilie[ri-1,ril,1 ≤i≤n>Ssup-1从而证明了第一个等式，第二个等式可同理证明，或考虑一f，然后利用前一个等式4
W S S f J~ π % Darboux 0Q, g0Q, maS S(π) Z S(π, f). 3 s S Darboux \Q, g\Q, ma S(π) Z S(π, f), ωi S f [xi−1, xi ] 0% <. z,u, S − s = Xn i=1 ωi · ∆xi . GC ωi = sup{|f(x) − f(y)| x, y ∈ [xi−1, xi ]}. L; 1 1~nB(,%:A π, { S = sup (Xn i=1 f(ξi) · ∆xi | ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n ) s = inf (Xn i=1 f(ξi) · ∆xi | ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n ) . O? n7, z,u, { Xn i=1 f(ξi) · ∆xi ≤ Xn i=1 Mi · ∆xi = S, ∀ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n 3 sup (Xn i=1 f(ξi) · ∆xi |ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n ) ≤ S n7, ∀ ε > 0, z0(q%,u, zj ξi ∈ [xi−1, xi ], 6$ f(ξi) > Mi − ε b − a 4, { Xn i=1 f(ξi) · ∆xi > Xn i=1 (Mi − ε b − a ) · ∆xi = Xn i=1 µi · ∆xi − ε b − a Xn i=1 ∆xi = S − ε ? sup (Xn i=1 f(ξi) · ∆xi |ξi ∈ [xi−1, xi ], 1 ≤ i ≤ n ) ≥ S. 3 (nB&7. (4B&7zK, Zy −f, )Uy nB &7. 4
引理2设分割元是从元添加k个分点得到，则有S()≥S(元)≥ S()-(M -m) k /元ll,s()≤8()≤s(元) +(M -m) k . l元/l特别地，对于给定的分割增加新的分点时，下和不减，上和不增证明为了简单起见，就k=1证明。此时，设新添加的分点为，则必落在某个区间（k-1,k）内.由上和的定义nS()=M,Ari= M-Ark+MAri=1itkS(元)=M-(-k-1)+M(k-)+M·Ar详这里M及M"分别是f在[k-1,司]及[,a]上的上确界因为M≤MkM'≤Mk，从而0 ≤S()-S()=(M-M)(--1)+(M-M)(-)≤ (M -m) -(-ak-1)+(M -m) -(rk-)=(M-m)△rk≤ (M -m)/元ll-即S()≥ S(元)≥ S() -(M -m) 元ll同理可证s()≤ s()≥ S() -(M -m) Ill推论对于任意两个分割元1及π2，有S(元1)≤S(元2)证明用元1U元2表示将元1和π2的所有分点合并后得到的分割（重复的分点只取一次，则元1U元2既可以看成由元1添加分点而来，又可以看作从元2添加分点而来由引理2，有s()≤S(U2)≤S(1U2)≤S(2)5
L; 2 1:A π 0 : π Hc k B:)$#, { S(π) ≥ S(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · k · kπk, s(π) ≤ s(π 0 ) ≤ s(π) + (M − m) · k · kπk D ', 1~C,%:A ce%:)4, \Qh, 0Q . O? S g i, t k = 1 . 4, 1eHc%:)S x¯, x¯ B$f (xk−1, xk) . z0Q%,u, S(π) = Xn i=1 Mi · ∆xi = Mk · ∆xk + X i6=k Mi · ∆xi S(π 0 ) = M0 k · (¯x − xk−1) + M00 k (xk − x¯) +X i6=k Mi · ∆xi M0 k ^ M00 k : : f [xk−1, x¯] ^ [¯x, xk] 0%0(q. vS M0 k ≤ Mk, M00 k ≤ Mk, 3 0 ≤ S(π) − S(π 0 ) = (Mk − M0 k )(¯x − xk−1) + (Mk − M00 k )(xk − x¯) ≤ (M − m) · (¯x − xk−1) + (M − m) · (xk − x¯) = (M − m) · ∆xk ≤ (M − m)kπk. _ S(π) ≥ S(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · kπk. Kz s(π) ≤ s(π 0 ) ≥ S(π) − (M − m) · kπk. E> 1~*tB:A π1 ^ π2, { S(π1) ≤ S(π2). O? y π1 ∪ π2 8k π1 Q π2 %B{:)SÆU$#%:A (=% :)&n), π1 ∪ π2 bzqxz π1 Hc:)3}, }zqx" π2 H c:)3}. zw 2, { s(π1) ≤ S(π1 ∪ π2) ≤ S(π1 ∪ π2) ≤ S(π2). 5