《高等数学（1-1）》课程教学大纲一、基本信息中文名称：高等数学（I-1)英文名称：AdvancedMathematics（I-1)开课学院：基础教学部课程编码：2501001045属性：理论类课程学分：4.5总学时：720上机学时：0实验学时：适用专业：工科类专业先修课程：中学数学大学数学教研室大纲执笔：大纲审批：鲜义才基础教学部学术委员会教学院长：时间：2020年4月二、目的与任务及能力培养《高等数学（I-1）》是高等院校理工类专业必修的一门重要基础课，开设本课程的目的是使学生系统地掌握一元函数微积分的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，在数学的逻辑性、严密性与抽象性等方面受到必要的训练和熏陶，为学生学习后继课程提供必要的基础知识和思想方法。在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生的运算能力、逻辑推理能力、归纳判断能力、抽象思维和创新思维能力、空间想象能力和自学能力，同时注意培养学生用数学方法去思考问题的意识和兴趣，综合运用所学知识去分析问题和解决问题、建立数学模型、以及利用现代信息技术知识解决实际问题的能力。三、基本要求本课程的教学基本要求是掌握一元函数微积分的背景、数学思想及基本理论；掌握一元函数微积分的基本概念、基本公式、基本运算法则；能够应用一元函数微积分的知识和思想方法解决实际问题；并具有一定的分析论证能力和较强的运算能力；培养学生阅读教材的能力、计算能力、判断正误的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维和创新思维能力及自学能力；着重培养学生的数学素质和创新思维能力以及综合素质，促进学生数学素质和创新思维能力的提高。四、教学内容、要求及学时分配（）理论教学（72学时）第一章函数与极限（16学时）目的与要求：学习本章的目的是使学生理解函数、极限和连续等概念，能熟练进行极限1
1 《高等数学(Ⅰ-1)》课程教学大纲 一、基本信息 中 文 名 称 ： 高等数学（Ⅰ-1） 英 文 名 称 ： Advanced Mathematics （Ⅰ-1） 开 课 学 院 ： 基础教学部 课 程 编 码 ： 2501001045 属 性 ： 理论类课程 学 分 ： 4.5 总 学 时 ： 72 实验学时： 0 上机学时： 0 适 用 专 业 ： 工科类专业 先 修 课 程 ： 中学数学 大 纲 执 笔 ： 大学数学教研室 大 纲 审 批 ： 基础教学部学术委员会 教学院长： 鲜义才 时间：2020 年 4 月 二、目的与任务及能力培养 《高等数学（Ⅰ-1）》是高等院校理工类专业必修的一门重要基础课，开设本课程的目 的是使学生系统地掌握一元函数微积分的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，在数 学的逻辑性、严密性与抽象性等方面受到必要的训练和熏陶，为学生学习后继课程提供必要 的基础知识和思想方法。在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生的运算能力、 逻辑推理能力、归纳判断能力、抽象思维和创新思维能力、空间想象能力和自学能力，同时 注意培养学生用数学方法去思考问题的意识和兴趣，综合运用所学知识去分析问题和解决问 题、建立数学模型、以及利用现代信息技术知识解决实际问题的能力。 三、基本要求 本课程的教学基本要求是掌握一元函数微积分的背景、数学思想及基本理论；掌握一元 函数微积分的基本概念、基本公式、基本运算法则；能够应用一元函数微积分的知识和思想 方法解决实际问题；并具有一定的分析论证能力和较强的运算能力；培养学生阅读教材的能 力、计算能力、判断正误的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维和创新思维能力 及自学能力；着重培养学生的数学素质和创新思维能力以及综合素质，促进学生数学素质和 创新思维能力的提高。 四、教学内容、要求及学时分配 （一）理论教学(72 学时) 第一章 函数与极限（16 学时） 目的与要求：学习本章的目的是使学生理解函数、极限和连续等概念，能熟练进行极限
的运算，能够用极限方法分析问题和处理问题。本章知识的基本要求是：（1）了解邻域、映射、双曲函数等概念，理解函数、符号函数、取整函数、分段函数、初等函数、双曲函数等概念；掌握函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性等四种特性；应用函数知识解决简单的实际问题。（2）理解数列极限的定义；掌握收敛数列的性质及数列极限的四则运算法则；应用数列极限的四则运算法则计算数列极限。（3）理解函数极限、左极限与右极限等概念：掌握函数极限存在的充分必要条件（左极限与右极限都存在且相等）及函数极限的性质、函数极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则；能够计算函数极限、能够求函数图形的水平渐近线。（4）掌握夹逼准则和单调有界准则：应用极限存在准则证明数列极限存在和求极限、应用两个重要极限求极限。（5）理解无穷小、无穷大的概念：掌握无穷小的性质与比较：应用等价无穷小替换计算极限、能够求函数图形的铅直渐近线。（6）了解初等函数的连续性；掌握函数在一点处连续、左连续与右连续、函数的间断点等概念、函数在一点处连续的充分必要条件（左极限与右极限都存在且都等于函数值）；能够判定函数间断点的类型。（7）掌握最大、最小值定理和介值定理等闭区间上连续函数的性质定理；应用闭区间上连续函数的最大、最小值定理和介值定理解决有关问题。第一节映射与函数（2学时）1.1集合简单复习集合的有关内容，介绍邻域概念（15分钟）。1.2映射介绍映射、单射、满射、双射、逆映射和复合映射等概念，并介绍有关例题（30分钟）。1.3函数介绍函数、反函数与复合函数、符号函数、取整函数、分段函数、基本初等函数、初等函数、双曲函数，以及函数的几种特性，并介绍有关例题（45分钟）。重点：符号函数、取整函数、分段函数等概念，函数的基本性质。难点：映射与复合映射建立简单实际问题中变量之间的函数关系式。第二节数列的极限（2学时）1.1数列极限的定义介绍数列极限的定义，并介绍有关例题（30分钟）。1.2收敛数列的性质证明极限的唯一性，解释收敛数列的有界性和收敛数列的保号性（25分钟）。1.3数列极限的四则运算法则介绍数列极限的四则运算法则，并介绍有关例题（35分钟）。重点：收敛数列的性质和数列极限的四则运算法则。难点：数列极限的定义。2
2 的运算，能够用极限方法分析问题和处理问题。本章知识的基本要求是： （1）了解邻域、映射、双曲函数等概念，理解函数、符号函数、取整函数、分段函数、 初等函数、双曲函数等概念；掌握函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性等四种特性；应 用函数知识解决简单的实际问题。 （2）理解数列极限的定义；掌握收敛数列的性质及数列极限的四则运算法则；应用数 列极限的四则运算法则计算数列极限。 （3）理解函数极限、左极限与右极限等概念；掌握函数极限存在的充分必要条件（左 极限与右极限都存在且相等）及函数极限的性质、函数极限的四则运算法则和复合函数的极 限运算法则；能够计算函数极限、能够求函数图形的水平渐近线。 （4）掌握夹逼准则和单调有界准则；应用极限存在准则证明数列极限存在和求极限、 应用两个重要极限求极限。 （5）理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的性质与比较；应用等价无穷小替换计 算极限、能够求函数图形的铅直渐近线。 （6）了解初等函数的连续性；掌握函数在一点处连续、左连续与右连续、函数的间断 点等概念、函数在一点处连续的充分必要条件（左极限与右极限都存在且都等于函数值）； 能够判定函数间断点的类型。 （7）掌握最大、最小值定理和介值定理等闭区间上连续函数的性质定理；应用闭区间 上连续函数的最大、最小值定理和介值定理解决有关问题。 第一节 映射与函数（2 学时） 1.1 集合 简单复习集合的有关内容，介绍邻域概念（15 分钟）。 1.2 映射 介绍映射、单射、满射、双射、逆映射和复合映射等概念，并介绍有关例题（30 分钟）。 1.3 函数 介绍函数、反函数与复合函数、符号函数、取整函数、分段函数、基本初等函数、初等 函数、双曲函数，以及函数的几种特性，并介绍有关例题（45 分钟）。 重点：符号函数、取整函数、分段函数等概念，函数的基本性质。 难点：映射与复合映射,建立简单实际问题中变量之间的函数关系式。 第二节 数列的极限（2 学时） 1.1 数列极限的定义 介绍数列极限的定义，并介绍有关例题（30 分钟）。 1.2 收敛数列的性质 证明极限的唯一性，解释收敛数列的有界性和收敛数列的保号性（25 分钟）。 1.3 数列极限的四则运算法则 介绍数列极限的四则运算法则，并介绍有关例题（35 分钟）。 重点：收敛数列的性质和数列极限的四则运算法则。 难点：数列极限的定义
第三节函数的极限（2学时）1.1函数极限的定义介绍自变量趋于正无穷大、负无穷大和无穷大时函数的极限，并介绍有关例题（20分钟）：介绍自变量趋于有限值时函数的极限、单侧极限等概念，并介绍有关例题（25分钟）。1.2函数极限的性质介绍函数极限的唯一性、函数极限的局部保号性和函数极限的局部有界性（10分钟）。1.3函数极限的运算法则介绍函数极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并介绍有关例题（35分钟）。重点：函数极限的性质、四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并利用函数极限的运算法则求函数的极限。难点：函数极限的定义。第四节极限存在准则两个重要极限（2学时）1.1极限存在准则介绍极限存在准则，并介绍有关例题（45分钟）。1.2两个重要极限介绍两个常用的不等式和两个重要极限，并介绍有关例题（45分钟）。重点：极限存在准则和两个重要极限，利用极限存在准则证明数列极限存在和求极限，利用两个重要极限求极限。难点：利用极限存在准则证明数列极限存在。第五节无穷小（2学时）1.1无穷小与无穷大介绍无穷小与无穷大的概念，介绍无穷小量的一些重要性质，并介绍有关例题（45分钟）。1.2无穷小的比较介绍高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小等概念，并介绍有关例题（45分钟）。重点：无穷小的性质与比较，以及用等价无穷小替换求极限。难点：无穷大的定义、用等价无穷小替换求极限。第六节函数的连续性与间断点（2学时）1.1函数的连续性介绍函数在一点处连续、左连续与右连续等概念，并介绍有关例题（25分钟）。1.2函数的间断点介绍函数的跳跃间断点、可去间断点等第一类间断点，以及介绍函数的振荡间断点和无穷间断点等第二类间断点，并介绍有关例题（20分钟）。1.3初等函数的连续性介绍初等函数的连续性，并介绍有关例题（45分钟）。3
3 第三节 函数的极限（2 学时） 1.1 函数极限的定义 介绍自变量趋于正无穷大、负无穷大和无穷大时函数的极限，并介绍有关例题（20 分 钟）；介绍自变量趋于有限值时函数的极限、单侧极限等概念，并介绍有关例题（25 分钟）。 1.2 函数极限的性质 介绍函数极限的唯一性、函数极限的局部保号性和函数极限的局部有界性（10 分钟）。 1.3 函数极限的运算法则 介绍函数极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并介绍有关例题（35 分钟）。 重点：函数极限的性质、四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并利用函数极限的 运算法则求函数的极限。 难点：函数极限的定义。 第四节 极限存在准则 两个重要极限（2 学时） 1.1 极限存在准则 介绍极限存在准则，并介绍有关例题（45 分钟）。 1.2 两个重要极限 介绍两个常用的不等式和两个重要极限，并介绍有关例题（45 分钟）。 重点：极限存在准则和两个重要极限，利用极限存在准则证明数列极限存在和求极限， 利用两个重要极限求极限。 难点：利用极限存在准则证明数列极限存在。 第五节 无穷小（2 学时） 1.1 无穷小与无穷大 介绍无穷小与无穷大的概念，介绍无穷小量的一些重要性质，并介绍有关例题（45 分 钟）。 1.2 无穷小的比较 介绍高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小等概念，并介绍有关例题（45 分钟）。 重点：无穷小的性质与比较，以及用等价无穷小替换求极限。 难点：无穷大的定义、用等价无穷小替换求极限。 第六节 函数的连续性与间断点（2 学时） 1.1 函数的连续性 介绍函数在一点处连续、左连续与右连续等概念，并介绍有关例题（25 分钟）。 1.2 函数的间断点 介绍函数的跳跃间断点、可去间断点等第一类间断点，以及介绍函数的振荡间断点和无 穷间断点等第二类间断点，并介绍有关例题（20 分钟）。 1.3 初等函数的连续性 介绍初等函数的连续性，并介绍有关例题（45 分钟）
重点：函数在一点处连续等概念和函数间断点类型的判定。难点：函数间断点类型的判定。第七节闭区间上连续函数的性质（2学时）利用连续函数的几何图形来解释闭区间上连续函数的最值定理和介值定理（30分钟），并介绍有关例题（60分钟）。重点：理解闭区间上连续函数的最大、最小值定理和介值定理。难点：零点定理和介值定理的应用。第八节习题课和单元测验（2学时）1.1小结与讲解综合题和难题小结第一章内容，进一步明确第一章教学基本要求，强调重点内容（10分钟）：讲解典型例题和作业中存在的问题（35分钟）。1.2单元测验单元测验（45分钟）。重点：教学基本要求和单元测验。难点：综合题和难题。第二童导数与微分（12学时）目的与要求：学习本章的目的是使学生理解导数和微分等概念，掌握求导公式与运算法则，能够熟练计算导数，能够用导数描述一些实际问题中的变化率。本章知识的基本要求是：（1）了解导数的几何意义和物理意义；掌握导数、左导数和右导数的概念及函数的可导性与连续性之间的关系、函数在某点处可导的充分必要条件（左导数与右导数都存在且相等）、基本初等函数的导数公式：应用导数描述一些实际问题中一些量的变化率、能够求分段函数的一阶导数、能够求平面曲线的切线方程和法线方程。（2）掌握导数的四则运算法则、反函数、复合函数的求导法则；应用法则计算函数的导数。（3）了解相关变化率：掌握隐函数与取对数求导及参数式函数的求导法则：应用求导法则求隐函数与参数式函数的导数。（4）了解高阶导数的概念：掌握高阶导数的运算法则；能够求出初等函数的一阶与二阶导数、能够求隐函数和参数式函数的一阶与二阶导数、能够求一些简单而又常见的函数的n阶导数。（5）掌握微分概念、导数与微分的关系及微分所包含的局部线性化思想、函数在一点处可微的充分必要条件、微分的运算法则及微分形式的不变性及微分的求法：应用微分进行简单的近似计算。第一节导数概念（2学时）1.1导数概念介绍几何上求曲线上切线的斜率和物理上求变速直线运动的瞬时速度等问题，介绍导数的概念，强调导数的实质一一变化率，并介绍有关例题（30分钟）：介绍左导数和右导数4
4 重点：函数在一点处连续等概念和函数间断点类型的判定。 难点：函数间断点类型的判定。 第七节 闭区间上连续函数的性质（2 学时） 利用连续函数的几何图形来解释闭区间上连续函数的最值定理和介值定理（30 分钟）， 并介绍有关例题（60 分钟）。 重点：理解闭区间上连续函数的最大、最小值定理和介值定理。 难点：零点定理和介值定理的应用。 第八节 习题课和单元测验（2 学时） 1.1 小结与讲解综合题和难题 小结第一章内容，进一步明确第一章教学基本要求，强调重点内容（10 分钟）；讲解 典型例题和作业中存在的问题（35 分钟）。 1.2 单元测验 单元测验（45 分钟）。 重点：教学基本要求和单元测验。 难点：综合题和难题。 第二章 导数与微分（12 学时） 目的与要求：学习本章的目的是使学生理解导数和微分等概念，掌握求导公式与运算法 则，能够熟练计算导数，能够用导数描述一些实际问题中的变化率。本章知识的基本要求是： （1）了解导数的几何意义和物理意义；掌握导数、左导数和右导数的概念及函数的可 导性与连续性之间的关系、函数在某点处可导的充分必要条件（左导数与右导数都存在且相 等）、基本初等函数的导数公式；应用导数描述一些实际问题中一些量的变化率、能够求分 段函数的一阶导数、能够求平面曲线的切线方程和法线方程。 （2）掌握导数的四则运算法则、反函数、复合函数的求导法则；应用法则计算函数的 导数。 （3）了解相关变化率；掌握隐函数与取对数求导及参数式函数的求导法则；应用求导 法则求隐函数与参数式函数的导数。 （4）了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的运算法则；能够求出初等函数的一阶与二 阶导数、能够求隐函数和参数式函数的一阶与二阶导数、能够求一些简单而又常见的函数的 n 阶导数。 （5）掌握微分概念、导数与微分的关系及微分所包含的局部线性化思想、函数在一点 处可微的充分必要条件、微分的运算法则及微分形式的不变性及微分的求法；应用微分进行 简单的近似计算。 第一节 导数概念（2 学时） 1.1 导数概念 介绍几何上求曲线上切线的斜率和物理上求变速直线运动的瞬时速度等问题，介绍导数 的概念，强调导数的实质——变化率，并介绍有关例题（30 分钟）；介绍左导数和右导数
概念，并介绍有关例题（15分钟）。1.2基本初等函数的导数公式用定义计算基本初等函数的导数（25分钟）。1.3函数的可导性与连续性的关系介绍函数的可导性与连续性的关系，并介绍有关例题（20分钟）。重点：导数、左导数和右导数等概念，基本初等函数的导数公式，以及函数在某点处可导的条件（左导数与右导数都存在且相等），函数的可导性与连续性之间的关系。难点：用定义计算导数。第二节函数的求导法则（2学时）1.1导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，并介绍有关例题（15分钟）。1.2反函数的求导法则介绍反函数的求导法则，并介绍有关例题（15分钟）1.3复合函数的求导法则，并介绍有关例题（60分钟），重点：导数的四则运算法则，反函数与复合函数的求导法则。难点：复合函数的求导法则应用。第三节隐函数及参数方程的求导与相关变化率（2学时）1.1隐函数的求导与取对数求导介绍隐函数的概念与隐函数的导数求法，并介绍有关例题（30分钟），介绍取对数求导及练习（15分钟）。1.2参数式函数的求导法则介绍参数式函数的求导法则，并介绍有关例题（25分钟）：1.3相关变化率介绍相关变化率与例题，课内练习（20分钟）重点：隐函数的求导和参数式函数的求导法则。难点：隐函数的求导与相关变化率的计算。第四节高阶导数（2学时）1.1高阶导数的定义及其求法介绍高阶导数的定义及其求法，并介绍有关例题（45分钟）。1.2高阶导数的运算法则介绍高阶导数的运算法则，并介绍有关例题（45分钟）。重点：高阶导数的运算法则和计算函数的高阶导数。难点：计算函数的n阶导数。第五节函数的微分（2学时）1.1介绍微分的概念，强调局部线性化思想，函数在一点处可微的充分必要条件，并5
5 概念，并介绍有关例题（15 分钟）。 1.2 基本初等函数的导数公式 用定义计算基本初等函数的导数（25 分钟）。 1.3 函数的可导性与连续性的关系 介绍函数的可导性与连续性的关系，并介绍有关例题（20 分钟）。 重点：导数、左导数和右导数等概念，基本初等函数的导数公式，以及函数在某点处可 导的条件（左导数与右导数都存在且相等），函数的可导性与连续性之间的关系。 难点：用定义计算导数。 第二节 函数的求导法则（2 学时） 1.1 导数的四则运算法则 介绍导数的四则运算法则，并介绍有关例题（15 分钟）。 1.2 反函数的求导法则 介绍反函数的求导法则，并介绍有关例题（15 分钟） 1.3 复合函数的求导法则，并介绍有关例题（60 分钟）， 重点：导数的四则运算法则，反函数与复合函数的求导法则。 难点：复合函数的求导法则应用。 第三节 隐函数及参数方程的求导与相关变化率（2 学时） 1.1 隐函数的求导与取对数求导 介绍隐函数的概念与隐函数的导数求法，并介绍有关例题（30 分钟），介绍取对数求 导及练习（15 分钟）。 1.2 参数式函数的求导法则 介绍参数式函数的求导法则，并介绍有关例题（25 分钟）。 1.3 相关变化率 介绍相关变化率与例题，课内练习（20 分钟） 重点：隐函数的求导和参数式函数的求导法则。 难点：隐函数的求导与相关变化率的计算。 第四节 高阶导数（2 学时） 1.1 高阶导数的定义及其求法 介绍高阶导数的定义及其求法，并介绍有关例题（45 分钟）。 1.2 高阶导数的运算法则 介绍高阶导数的运算法则，并介绍有关例题（45 分钟）。 重点：高阶导数的运算法则和计算函数的高阶导数。 难点：计算函数的 n 阶导数。 第五节 函数的微分（2 学时） 1.1 介绍微分的概念，强调局部线性化思想，函数在一点处可微的充分必要条件，并